[論文レビュー] Constructive proof of Brouwer's fixed point theorem for sequentially locally non-constant functions

Yasuhito Tanaka|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2011

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、n次元単体上のリーマン連続で逐次局所非定常な関数に対して、近似固定点の存在を用いて、ブローウェルの不動点定理の構成的証明を提示する。この証明はファンの定理に依存せず、このような関数が正確な固定点を持つことを示し、また、このバージョンのブローウェルの定理がスペルナーの補題と論理的に同値であることを示している。

ABSTRACT

We present a constructive proof of Brouwer's fixed point theorem for uniformly continuous and sequentially locally non-constant functions based on the existence of approximate fixed points. And we will show that Brouwer's fixed point theorem for uniformly continuous and sequentially locally non-constant functions implies Sperner's lemma for a simplex. Since the existence of approximate fixed points is derived from Sperner's lemma, our Brouwer's fixed point theorem is equivalent to Sperner's lemma.

研究の動機と目的

• 局所非定常性よりも強い条件、すなわち逐次局所非定常性を仮定したもとで、ブローウェルの不動点定理の構成的証明を提供すること。
• 近似固定点の存在に加え、逐次局所非定常性が成り立つならば、正確な固定点の存在が保証されることを示すこと。
• n次元単体上で一様連続で逐次局所非定常な関数に対するブローウェルの不動点定理が、単体におけるスペルナーの補題を示すこと。
• これらの条件下でのブローウェルの不動点定理とスペルナーの補題との間で論理的同値性を確立すること。非構成的原理（例：ファンの定理）を避けること。

提案手法

• 完全有界集合上で一様な条件として逐次局所非定常性を定義する：関数fの下で、2つの列が互いに恒等写像に近づくならば、それらの列自体も互いに収束する必要がある。
• コンパクトな単体上で一様連続な関数は近似固定点をもつ、すなわち任意のε > 0に対して、|x − f(x)| < εを満たすxが存在する、という事実を利用する。
• スパルナーのラベリングを用いて、三角形分割された単体から関数fを構成する。ここでラベルは成分ごとのシフトをτ > 0で定める。
• 頂点写像の凸結合により単体上でfを定義する：f(x) = ∑λ_i f(x^i)とし、一様連続性を保証する。
• 収束列について|f(z_m) − z_m| → 0を分析することで、構成されたfが逐次局所非定常であることを証明する。
• fの固定点は完全ラベル化された単体に存在しなければならないことから、固定点の存在からスペルナーの補題を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様連続で逐次局所非定常な関数に対して、ブローウェルの不動点定理は構成的に証明可能か？
• RQ2 近似固定点の存在に加え、逐次局所非定常性が成り立つならば、ファンの定理を用いずに正確な固定点が保証されるか？
• RQ3 逐次局所非定常関数に対するブローウェルの不動点定理は、論理的にスペルナーの補題と同値か？
• RQ4 ファンの定理のような非構成的原理に依存せずに、ブローウェルの定理の構成的証明が可能か？
• RQ5 逐次局所非定常性と、局所非定常性や高々1つの固定点という条件との関係は何か？

主な発見

• n次元単体から自身への一様連続で逐次局所非定常な関数fは、近似固定点をもつならば固定点を持つ。
• 逐次局所非定常性は局所非定常性よりも強く、|f(x_n) − x_n| → 0を満たす列は互いに収束しなければならないことを保証する。
• スパルナーのラベリングに基づいて構成された関数fは一様連続で逐次局所非定常であり、その固定点は完全ラベル化された単体の存在を示唆する。
• このような関数の固定点の存在はスペルナーの補題を示し、両者の原理の間で論理的同値性が確立される。
• 証明はファンの定理を避け、構成的原理のみに依存するため、ビショップ流の構成的数学において有効である。
• この結果により、この関数クラスに対するブローウェルの不動点定理が、構成的にも論理的にもスペルナーの補題と同値であることが示された。