[論文レビュー] Constructive sparse trigonometric approximation for functions with small mixed smoothness

Vladimir Temlyakov|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2015

Mathematical Approximation and Integration参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、Banach空間における弱チエビシェフグリーディアルゴリズムに基づく構成的グリーディアルゴリズムを提示し、Lp空間における小さな混合滑らかさをもつ関数の最適なm項三角関数近似誤差を達成する。rが小さい場合のクラスW^r_qに対して、これまで非構成的結果にとどまっていた、最良の近似順序を達成する初の構成的手法を確立し、先行研究における主要なギャップを解消する。

ABSTRACT

The paper gives a constructive method, based on greedy algorithms, that provides for the classes of functions with small mixed smoothness the best possible in the sense of order approximation error for the $m$-term approximation with respect to the trigonometric system.

研究の動機と目的

• 小さな混合滑らかさをもつ関数に対して、最良の近似順序のm項三角関数近似を達成する構成的手法の開発。
• Lp空間におけるm項近似に関する先行の非構成的結果を、グリーディアルゴリズムを用いた構成的枠組みへと拡張すること。
• 滑らかさrが小さい場合、特にβp′ < r ≤ 1/qの範囲において、W^r_qクラスに対する最良の構成的近似の未解決問題を解決すること。
• 先行研究の定理1.1を用いたより体系的な手法への置き換えにより、既存の技術を統合・簡略化すること。
• 1 ≤ q ≤ 2および2 < p < ∞のLp空間において、σm(W^r_q)_pの鋭い上限を確立すること。特にq = 1の困難な場合を含む。

提案手法

• Banach空間における弱チエビシェフグリーディアルゴリズム（WCGA）を用い、三角関数系に関するm項近似を構成する。
• [16]の定理1.1をコアツールとして用い、収束性と選択された係数の入れ子構造（θm ⊂ θn）を保証する。
• ハイパボリッククロス近似理論の深い結果（定理1.6, 定理1.7, 定理1.8, レイマ4.2）を用い、高次元における近似誤差を制御する。
• 従来構成的に未解決であったq = 1の臨界ケースを扱うために、新しい技術的補題（補題4.3）を導入する。
• 近似誤差を制御するために、関数の二進分解に適した加法性を有するAノルム‖f‖_A = ∑|f̂(k)|を用いる。
• 非構成的確率的議論の代わりに、決定的グリーディ選択を用いることで、ローゼンタールの不等式を間接的に構成的枠組みに組み込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構成的グリーディアルゴリズムは、小さな混合滑らかさをもつ関数のLp空間におけるm項三角関数近似で、最良の近似順序の誤差を達成できるか？
• RQ2 r < 1（特にrが小さい）の場合、および1 ≤ q ≤ 2、2 < p < ∞の範囲において、近似誤差σm(W^r_q)_pはどのように振る舞うか？
• RQ3 レムマ1.1（ローゼンタール型不等式）に基づく非構成的結果を、定理1.1を用いて完全に構成的に行えるか？
• RQ4 Lp空間におけるW^r_1クラスの鋭い近似順序は何か？ そして、それは構成的に達成可能か？
• RQ5 滑らかさと次元依存性の観点から、W^r_qクラスの近似速度とBesovクラスB^r_{q,θ}の近似速度は、どのように比較できるか？

主な発見

• 本稿では、βp′ < r ≤ 1/qおよび2 < p < ∞の範囲で、W^r_qのm項近似誤差がσm(W^r_q)_p ≍ m^{-(r−β)p/2}(log m)^{(d−1)(r(p−1)−βp)}を満たすことを確立した。ここでβ = 1/q − 1/pである。
• q = 1の場合、結果は任意のε > 0に対して(log m)^εの対数的要因を除き最適である。
• 定理1.1の使用により、従来非構成的確率的手法（例：レムマ1.1）で得られた上限の完全な構成的証明が可能になった。
• W^r_qの近似誤差はB^r_{q,2}のそれよりも厳密に小さいため、W^r_qはB^r_{q,2}よりも厳密に大きいクラスであることが示され、結果はより強力である。
• 本手法は、与えられた関数クラスに対して最良の近似順序の誤差を達成しており、既知の下界と一致する。
• βp′ < r ≤ 1/qの範囲における構成的m項近似の未解決問題が、本稿で解決された。これは、従来の構成的枠組みでは未解決のままであった。