[論文レビュー] Constructive Stabilization and Pole Placement by Arbitrary Decentralized Architectures

Alborz Alavian, Michael Rotkowitz|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2017

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、WangとDavisonの1973年の古典的結果を一般化し、与えられた情報構造における静的線形時不変（LTI）コントローラーで動かせない固定モードが、同じ情報構造における動的LTIコントローラーに対しても動かせないことを厳密に証明している。さらに、非固定モードは構成的アルゴリズムを用いて任意の目的の位置に限りなく近づけて配置可能であり、動的分散コントローラーによる安定化可能性が、すべての固定モードが左半平面にあることに等しいことを示している。

ABSTRACT

A seminal result in decentralized control is the development of fixed modes by Wang and Davison in 1973 - that plant modes which cannot be moved with a static decentralized controller cannot be moved by a dynamic one either, and that the other modes which can be moved can be shifted to any chosen location with arbitrary precision. These results were developed for perfectly decentralized, or block diagonal, information structure, where each control input may only depend on a single corresponding measurement. Furthermore, the results were claimed after a preliminary step was demonstrated, omitting a rigorous induction for each of these results, and the remaining task is nontrivial. In this paper, we consider fixed modes for arbitrary information structures, where certain control inputs may depend on some measurements but not others. We provide a comprehensive proof that the modes which cannot be altered by a static controller with the given structure cannot be moved by a dynamic one either, and that the modes which can be altered by a static controller with the given structure can be moved by a dynamic one to any chosen location with arbitrary precision, thus generalizing and solidifying Wang and Davison's results. This shows that a system can be stabilized by a linear time-invariant controller with the given information structure as long as all of the modes which are fixed with respect to that structure are in the left half-plane; an algorithm for synthesizing such a stabilizing decentralized controller is then distilled from the proof.

研究の動機と目的

• 完全分散型（ブロック対角型）構造に限らない任意の情報構造へ、WangとDavisonの1973年の固定モードと極配置に関する結果を一般化すること。
• 与えられた情報構造に対して、静的LTIコントローラーにおける固定モードが、同じ構造における動的LTIコントローラーに対しても不動のままであることを、帰納的証明により厳密に示すこと。
• 所定の構造を持つ動的LTIコントローラーを用いて、非固定モードを複素平面内の任意の目的の位置に限りなく近づけて配置できることを示すこと。
• 証明に基づいて、安定化可能な分散コントローラーを合成する明示的かつ構成的なアルゴリズムを導出すること。

提案手法

• 情報構造とコントローラーの種別（静的／動的、LTI／非LTI）に依存する固定モードの一般化された定義を導入する。
• 帰納的議論を用いて、与えられた情報構造において、静的LTIコントローラーと動的LTIコントローラーの両方で固定モードの集合が同一であることを証明する。
• 非固定モードが、複素平面内の任意の目的の極位置に、任意の精度で近づけて配置可能であることを、構成的アプローチで示す。
• ステートスペースパrameterizationを用いて、非固定モードに段階的に極を割り当てることで、安定化可能な動的LTIコントローラーを合成するアルゴリズム1を構築する。
• 境界のないコントローラー利得を避けるために、正確な固有値一致ではなく、近接性に基づく条件を用いる。
• 左半平面を任意の開集合の目的の位置に置き換えることで、任意の許容可能な閉ループ固有値領域への拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散制御における完全分散型（ブロック対角型）情報構造を超えて、固定モードの概念を任意の情報構造へ一般化できるか？
• RQ2 与えられた情報構造において、静的LTIコントローラーで動かせないモードが、同じ構造を持つ動的LTIコントローラーに対しても動かせないという主張は真か？
• RQ3 所定の情報制約下で、動的LTIコントローラーを用いて非固定モードを複素平面内の任意の目的の位置に限りなく近づけて配置できるか？
• RQ4 任意の情報構造に対して、安定化可能な動的LTIコントローラーを合成する構成的でアルゴリズム的な手順は何か？
• RQ5 左半平面を超えて、任意の許容可能な閉ループ固有値領域を想定するには、結果をどのように拡張できるか？

主な発見

• 与えられた情報構造において、静的LTIコントローラーにおける固定モードは、同じ構造を持つ動的LTIコントローラーに対しても同一であり、動的コントローラーが可動モードの集合を拡大しないことを証明した。
• 非固定モードは、任意の目的の複素共役位置に、任意の精度で近づけて配置可能であり、極配置の精度が任意に確保されることを示した。
• 与えられた情報構造を持つ動的LTIコントローラーによる安定化可能性は、すべての固定モードが左半平面にあることに等しい。
• 提案されたアルゴリズム1は、非ゼロのコントローラー項が9個ある5次系のプラントに対して、3次元の安定化コントローラーを効果的に合成でき、他の手法に比べてコントローラー次数が優れている。
• 正確な一致ではなく、近接性に基づく固有値配置を用いることで、境界のない利得を回避し、数値的安定性が向上した。
• 許容可能な閉ループ固有値領域を左半平面に限らず、任意の開集合に拡張できる。これは、許容領域の補集合を適切に置き換えることで実現される。