[論文レビュー] Contact geometric mechanics: the Tulczyjew triples

Katarzyna Grabowska, Janusz Grabowski|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2022

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、線束 $L \to M$ の断面のジャネットバンドル $J^1L$ に自然な接触構造を導入することで、古典的 Tulczyjew 三重奏を接触多様体へ一般化する。接触幾何学を用いてハミルトニアン形式とラグランジュ形式を統一し、接触リーマン写像を定義し、接触ベクトル場を用いて $J^1L$ 上に暗黙の力学を確立する。主な貢献は、非自明な位相的状況を含む接触力学系のための標準的で幾何的な枠組みを提供することである。

ABSTRACT

We propose a generalization of the classical Tulczyjew triple as a geometric tool in Hamiltonian and Lagrangian formalisms which serves for contact manifolds. The rôle of the canonical symplectic structures on cotangent bundles in Tulczyjew's case is played by the canonical contact structures on the bundles $J^1L$ of first jets of sections of line bundles $L o M$. Contact Hamiltonians and contact Lagrangians are understood as sections of certain line bundles, and they determine (generally implicit) dynamics on the contact phase space $J^1L$. We also study a contact analog of the Legendre map and the Legendre transformation of generating objects in both contact formalisms. Several explicit examples are offered.

研究の動機と目的

• 散逸性やスケーリング対称性を有する力学系に対して、古典的 Tulczyjew 三重奏形式をシンプレクティック幾何学から接触幾何学へ拡張すること。
• 線束 $L \to M$ の1次ジャネットバンドル $J^1L$ に自然な接触構造を用いて、接触ハミルトニアン力学と接触ラグランジュ力学の幾何的枠組みを提供すること。
• 古典的リーマン写像を接触設定に一般化する接触リーマン写像を定義し、$J^1L$ 上でのハミルトニアンとラグランジュ生成対象を関連付けること。
• 適切な線束の断面によって生成される接触ベクトル場を用いて、$J^1L$ 上に暗黙の力学の存在を確立すること。
• 非自明な位相的構造（例：非自明な $S^1$-バンドル）に対処するため、$\mathbb{R}^\times$-主バンドルとその関連する Atiyah アルゲブライトを用い、局所座標を超えたグローバルな定式化を可能にすること。

提案手法

• 線束 $L \to M$ の断面のジャネットバンドル $J^1L$ を接触位相空間とし、双対バンドル $L^\times$ 上の $\mathbb{R}^\times$-作用に由来する自然な接触構造を備える。
• 接触ハミルトニアンとラグランジュ関数を、それぞれ $J^1L$ と Atiyah アルゲブライト $A(L^\times)$ 上の線束の断面として表現し、$\mathbb{R}^\times$-同次性を保証する。
• 接触幾何学に適合した古典的対応の代わりに、接触 Tulczyjew 三重奏を、二重ベクトルバンドルの準同型写像の可換図式として構成する。$\alpha$ と $\beta$ のような標準的写像を、シンプレクティックの場合と類似させつつ接触幾何学に適合させる。
• 接触形式 $\eta$ とハミルトニアン断面 $h$ を用いて接触ハミルトニアンベクトル場を定義し、$\iota_{X_h}\eta = -dh$ および $\iota_{X_h}d\eta = dh$ を満たす。
• 接触リーマン写像を、接触位相空間と Atiyah アルゲブライト $A(L^\times)$ 間の準同型写像として定義し、古典的リーマン写像を接触設定に一般化する。
• 非自明な接触多様体（例：$S^1$ 上の $J^1B$）にこの形式を適用し、$\pi$-反周期関数を用いてハミルトニアンとラグランジュ関数のグローバル整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック構造を接触構造に置き換えることで、古典的 Tulczyjew 三重奏を接触多様体へどのように一般化できるか？
• RQ2 $\mathbb{R}^\times$-主バンドルとその関連するジャネットバンドルが、$J^1L$ 上に標準的接触構造を構成するために果たす役割は何か？
• RQ3 グローバルに有効な方法で、$J^1L$ 上の線束の断面としてのハミルトニアンと、$A(L^\times)$ 上の線束の断面としてのラグランジュ関数をどのように一貫して定義できるか？
• RQ4 接触リーマン写像の構造は何か？また、接触設定においてハミルトニアンとラグランジュ生成対象をどのように関連付けるか？
• RQ5 位相的障害（例：非自明な $S^1$-バンドル）は、正則ハミルトニアンとラグランジュ関数の存在と形態にどのように影響を与えるか？

主な発見

• $J^1L$ 上の自然な接触構造は、$L^\times$ を $\mathbb{R}^\times$-バンドル（$L$ の非零断面の集合）とし、$T^*L^\times / \mathbb{R}^\times$ として自然に得られる。これは $T^*M$ 上のシンプレクティック構造の一般化である。
• 接触ハミルトニアンは $J^1L$ 上の線束の断面として表され、それに関連する接触ベクトル場は接触形式 $\eta$ と条件 $\iota_{X_h} d\eta = dh$、$\iota_{X_h}\eta = -dh$ を満たす。
• $S^1$ 上の $J^1B$ 上で、非正則ハミルトニアン $h(q,p,z) = \cos(q)\frac{p^2}{2} + \lambda z$ を構成し、$h(q+\pi,-p,-z) = -h(q,p,z)$ を満たすことで、非自明なバンドル上でのグローバル整合性を保証した。
• ラグランジュ形式の生成関数は $L_O(q, \dot{q}, t, p, z) = p\dot{q} + tz - \cos(q)\frac{p^2}{2} - \lambda z$ で与えられ、$(p,z)$ をパrameterとする写像族を定義し、接触構造と整合的である。
• 接触リーマン写像は、$J^1L$ と Atiyah アルゲブライト $A(L^\times)$ 間の準同型写像として定義され、古典的リーマン写像を接触設定に一般化する。
• この形式は、非自明な接触多様体（例：$S^1$ 上の $J^1B$）を適切に扱える。正則ハミルトニアンは存在するが、$\pi$-反周期性の制約により、複雑な形を取る。