[論文レビュー] Contact geometry of multidimensional Monge-Ampère equations: characteristics, intermediate integrals and solutions

Dmitri V. Alekseevsky, Ricardo J. Alonso-Blanco+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2010

Geometry and complex manifolds被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多次元Monge-Ampère方程式（MAEs）の接触幾何的枠組みを構築し、接触分配の部分分配を用いてその特徴的曲線と中間積分を特徴づける手法を導入する。Goursat型MAEsについて局所的接触同値基準を確立し、中間積分を用いた一般化されたMonge法により、ハミルトニアン流れによる解の伝播を通じて明示的な解が得られる。

ABSTRACT

We study the geometry of multidimensional scalar $2^{nd}$ order PDEs (i.e. PDEs with $n$ independent variables) with one unknown function, viewed as hypersurfaces $\mathcal{E}$ in the Lagrangian Grassmann bundle $M^{(1)}$ over a $(2n+1)$-dimensional contact manifold $(M,\mathcal{C})$. We develop the theory of characteristics of the equation $\mathcal{E}$ in terms of contact geometry and of the geometry of Lagrangian Grassmannian and study their relationship with intermediate integrals of $\mathcal{E}$. After specifying the results to general Monge-Ampère equations (MAEs), we focus our attention to MAEs of type introduced by Goursat, i.e. MAEs of the form $$ \det|\frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j}-b_{ij}(x,f, abla f)\|=0. $$ We show that any MAE of the aforementioned class is associated with an $n$-dimensional subdistribution $\mathcal{D}$ of the contact distribution $\mathcal{C}$, and viceversa. We characterize this Goursat-type equations together with its intermediate integrals in terms of their characteristics and give a criterion of local contact equivalence. Finally, we develop a method of solutions of a Cauchy problem, provided the existence of a suitable number of intermediate integrals.

研究の動機と目的

• 接触幾何学を用いて、特にMonge-Ampère方程式を含む多次元2階偏微分方程式（PDE）の理論を構築し、その特徴的曲線と中間積分を分析すること。
• 接触分配のn次元部分分配と関連するGoursat型MAEsを幾何学的特徴づけすること。
• 幾何的不変量に基づいて、そのようなMAEsの局所的接触同値基準を確立すること。
• 中間積分とハミルトニアン流れを活用することで、古典的Monge法を一般化し、MAEsの初期値問題を解く手法を拡張すること。
• 十分な数の中間積分が存在する場合に、初期値問題を構成的に解き、局所的に一意な解が得られることを保証する方法を提供すること。

提案手法

• 著者らは、(2n+1)次元の接触多様体上のラグランジュ・グラスマン層への埋め込みを用い、2階PDEを接触多様体上の超曲面としてモデル化し、接触幾何学的手法を用いてその構造を分析する。
• ラグランジュ・グラスマン多様体の幾何学を用いてPDEの特徴的錐と定 conformal 距離を定義し、これらを中間積分と関連付ける。
• Goursat型MAEsに対して、接触分配Cのn次元部分分配Dを各方程式に割り当て、逆にDから方程式を再構成するという双対性を確立する。
• 一般化Monge法は、中間積分φ(x^i, p_i)およびφ(overline{x}^i, overline{p}_i)を構成することで実装され、それらがハミルトニアンベクトル場を定義し、初期データをその積分曲線に沿って伝播させる。
• 解は、中間積分に対応するハミルトニアンベクトル場を統合し、第一積分を用いて変数を消去することで解曲面を再構成することで構成される。
• 第一積分間の関係を用いて座標を消去することで、明示的な解の式が導出され、2次元例ではz = x^1 e^{x^2} + e^{x^1 + overline{x}^1} - x^1 overline{x}^2として示されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接触幾何学とラグランジュ・グラスマン多様体を用いて、多次元Monge-Ampère方程式の特徴的曲線をどのように記述できるか？
• RQ2 中間積分と2階PDEの特徴的構造との間には、どのような幾何学的関係があるか？
• RQ3 Goursat型Monge-Ampère方程式は、接触分配の部分分配を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ4 2つのこのようなMAEsの間で局所的接触同値性を保証する基準は何か？
• RQ5 一般化Monge法が多次元MAEの初期値問題を解くために有効となる条件は何か？

主な発見

• 任意のGoursat型Monge-Ampère方程式は、接触分配Cのn次元部分分配Dに関連する標準形と局所的に接触同値である。
• このようなMAEsの中間積分は、φ(x^1,…,x^k,p_1,…,p_k)およびφ(overline{x}^1,…,overline{x}^k,overline{p}_1,…,overline{p}_k)の形をとり、ここでk = n/2である。
• 十分な数の中間積分が存在する場合、一般化Monge法はハミルトニアンベクトル場の明示的統合を通じて、初期値問題に対して一意な局所解を構成する。
• 例題MAE det(∂²z/∂overline{x}^i ∂x^j) = 0 の解は、z = x^1 e^{x^2} + e^{x^1 + overline{x}^1} - x^1 overline{x}^2 として得られ、中間積分のハミルトニアン流れに沿った伝播によって導出された。
• この手法は、ハミルトニアンベクトル場の8個の第一積分のうち5つの独立な関係を特定することに依存しており、これらが変数の消去と解曲面の再構成に用いられる。
• 中間積分の存在はPDEの形式的可積分性を保証し、非特徴的初期データを局所的に一意に解に拡張可能にする。