[論文レビュー] Contact geometry of one dimensional holomorphic foliations

Giuseppe Tomassini, Sergio Venturini|ArXiv.org|Jul 29, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素多様体 $M$ 内の実超曲面 $V$ を定義する $C^k$ 解 $u$ が存在するための必要十分条件を確立する。ここで $u$ は $V$ の定義関数であり、関連する Monge-Ampère の葉層が $V$ 上で Reeb 葉層を誘導する。主な結果は、このような解が存在するための必要十分条件が、Reeb ベクトル場 $\xi_0$ の積分曲線が実解析的であることである。この条件は、CR 分布の無限小対称性に対するコーシー問題を解くことで得られる。

ABSTRACT

Let V be a real hypersurface of class C^k, k>=3, in a complex manifold M of complex dimension n+1, HT(V) the holomorphic tangent bundle to V giving the induced CR structure on V. Let θbe a contact form for (V,HT(V)), ξ_0 the Reeb vector field determined by θand assume that ξ_0 is of class C^k. In this paper we prove the following theorem (cf. Theorem 4.1): if the integral curves of ξ_0 are real analytic then there exist an open neighbourhood N\subset M of V and a solution u\in C^k(N) of the complex Monge-Ampère equation (dd^c u)^(n+1)=0 on N which is a defining equation for V. Moreover, the Monge-Ampère foliation associated to u induces on V that one associated to the Reeb vector field. The converse is also true. The result is obtained solving a Cauchy problem for infinitesimal symmetries of CR distributions of codimension one which is of independent interest (cf. Theorem 3.1).

研究の動機と目的

• 複素多様体 $M$ 内の実超曲面 $V$ が、複素 Monge-Ampère 方程式 $({\rm d}{{\rm d}^{c}}u)^{n+1} = 0$ を満たす $C^k$ 定義関数 $u$ を持つための条件を同定すること。
• Reeb ベクトル場の積分曲線の解析性と、このような解 $u$ の存在との間の対応関係を確立すること。
• 解 $u$ によって誘導される Monge-Ampère 葉層が、$V$ 上で Reeb ベクトル場 $\xi_0$ によって生成される葉層と一致することを示すこと。
• codimension one の CR 分布の無限小対称性に対するコーシュー問題を構築・適用すること。これは独立した意義を持つ。

提案手法

• 著者たちは、$[\xi, J\xi] = 0$、${{\rm d}^{c}}u(\xi) = 0$、${\rm d}u(\xi) = 1$ を満たすベクトル場 $\xi$ を用いて、キャリブレート葉層 $(\xi, u)$ を定義する。これにより $\xi$ はリーマン面からなる全純葉層を生成することが保証される。
• 一般化された正則関数の理論を用いて、$\xi$ が ${{\rm Ker}}\,{\rm d}u \cap {{\rm Ker}}\,{{\rm d}^{c}}u$ の無限小対称性である点の集合 $Z$ が、各葉と交わる部分が離散的または全集合であることを示す。
• codimension one の CR 分布の無限小対称性に対するコーシュー問題を解き、$\xi_0$ の積分曲線が実解析的であれば、$u|_V = 0$ かつ $\xi|_V = \xi_0$ を満たす $V$ の近傍で一意的なキャリブレート葉層 $(\xi, u)$ が存在することを証明する。
• 解 $u$ が $({\rm d}{{\rm d}^{c}}u)^{n+1} = 0$ を満たすことは、Levi 形式を含む行列式の恒等式と、$\xi \mathop{\hbox{\vrule height=7.0pt,width=0.5pt,depth=0.0pt\vrule height=0.5pt,width=6.0pt,depth=0.0pt}}{\rm d}{{\rm d}^{c}}u$ の消滅により示される。
• 逆は、$u$ が Monge-Ampère 方程式の $C^k$ 解であれば、関連するベクトル場 $\xi = \xi_u$ が $[\xi, J\xi] = 0$ を満たし、命題 3.1 よりその積分曲線が実解析的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素多様体 $M$ 内の実超曲面 $V$ が、複素 Monge-Ampère 方程式 $({\rm d}{{\rm d}^{c}}u)^{n+1} = 0$ を満たす $C^k$ 定義関数 $u$ を持つための条件は何か？
• RQ2 解 $u$ によって誘導される Monge-Ampère 葉層が、$V$ 上で Reeb ベクトル場 $\xi_0$ によって生成される葉層と一致するのはいつか？
• RQ3 Reeb ベクトル場 $\xi_0$ の積分曲線の解析性が、解 $u$ の存在に果たす役割は何か？
• RQ4 CR 分布の無限小対称性に対するコーシュー問題をどのように解き、$u$ を構成できるか？

主な発見

• 複素 Monge-Ampère 方程式 $({\rm d}{{\rm d}^{c}}u)^{n+1} = 0$ の $C^k$ 解 $u$ が $V$ の近傍 $M_0$ に存在するための必要十分条件は、Reeb ベクトル場 $\xi_0$ の積分曲線が実解析的であることである。
• 解 $u$ は $V$ の定義関数であり、$u|_V = 0$ かつ $V$ の近傍で ${\rm d}u \neq 0$ を満たし、${{\rm d}^{c}}u|_{T(V)} = \theta$ を満たす。ここで $\theta$ は $V$ 上の接触形式である。
• 解 $u$ によって誘導される Monge-Ampère 葉層は、$V$ 上で Reeb ベクトル場 $\xi_0$ によって生成される葉層と一致する。
• 逆に、$C^k$ 解 $u$ が存在するならば、関連するベクトル場 $\xi_u$ の積分曲線は実解析的であり、$\xi_u|_V = \xi_0$ であることが示される。
• 証明は、codimension one の CR 分布の無限小対称性に対するコーシュー問題の解法に依拠しており、これは独立した意義を持つことが示された。