[論文レビュー] Contact homology of $S^1$-bundles over some symplectically reduced orbifolds

Justin Pati|ArXiv.org|Oct 30, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ハミルトニアン作用がリーブ型である $S^1$-バンドルについて、シンプレクティック軌道空間上の接触ホモロジーを計算し、ボアーゲの定理を軌道空間基底へと拡張する。接触ホモロジーが基底のホモロジーとバンドルのデータにのみ依存することを示し、$c_1(\xi) = 0$ であっても、同じ第一チェーン類を持つ $S^2 \times S^3$ 上に無限個の非接触同型な構造を区別可能である。主な結果は、モーメント写像のモース・ボット関数を用いた、軌道空間のチェーン類とマスロフ指数によるグレーディングの公式である。

ABSTRACT

In this paper, we compute contact homology of some quasi-regular contact structures, which admit Hamiltonian actions of Reeb type of Lie groups. We will discuss the toric contact case, (where the torus is of Reeb type), and the case of homogeneous contact manifolds. In both of these cases the quotients by the Reeb action are Kähler and admit perfect Morse-Bott functions via the moment map. It turns out that the contact homology depends only on the homology of the symplectic base and the bundle data of the contact manifolds as a circle bundle over the base. Moreover we can identify the relevant holomorphic spheres in the bases which lift to gradient trajectories of the action functional on the loop space of the symplectization of M. In order to include all toric contact manifolds we extend a result of Bourgeois to the case of circle bundles over symplectic orbifolds. In particular we are able to distinguish contact structures on many contact manifolds all in the same first Chern class of $2n$-dimensional plane distributions.

研究の動機と目的

• シンプレクティック軌道空間上の $S^1$-バンドルに作用する準正規接触構造とハミルトニアン・リーブ型作用に対する接触ホモロジーを計算すること。
• シンプレクティック多様体上の円バンドルに対するボアーゲの接触ホモロジーの定理を、軌道空間基底の状況に拡張すること。
• $S^2 \times S^3$ 上の接触構造が同じ第一チェーン類を持つにもかかわらず、接触同型でないことを区別すること。
• トーリックおよび一様な接触多様体のための、モーメント写像のモース・ボット関数と軌道空間コホモロジーによるインデックス計算の形式化。
• 軌道空間基底上でのグロモフ＝ウィッテン不変量と $\bar{\partial}_J$-正則性を用いた接触ホモロジーの計算フレームワークの提供。

提案手法

• ボッチ＝ワング構成を用いて、接触多様体を曲率形式 $d\alpha = \sum w_j \pi^*c_j$ を持つシンプレクティック軌道空間上の $S^1$-バンドルとして実現する。
• 基底軌道空間上のモーメント写像成分にモース・ボット理論を適用し、完全なモース関数を用いてチェーン複体を単純化する。
• 接触ホモロジーのグレーディングを、基底の軌道空間における球面2次元サイクル上での $c_1(T\mathcal{Z})$ の積分により計算する。
• 単連結で簡約された軌道空間のすべての2次元ホモロジーが球面によって生成されることを活用し、マスロフ指数の計算を単純化する。
• $\bar{\partial}_J$-正則性と横断性を用いて、微分におけるグロモフ＝ウィッテン不変量が適切に定義されることを保証する。
• 軌道空間特異点をチェーン類の評価に組み込むことで、一様空間および重み付き射影空間へ結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアン・リーブ型作用を有するシンプレクティック軌道空間上の $S^1$-バンドルに対して、接触ホモロジーを計算できるか？
• RQ2 このようなバンドルの接触ホモロジーは、基底軌道空間のホモロジーとバンドルのデータにどのように依存するか？
• RQ3 $S^2 \times S^3$ 上の接触構造は、同じ第一チェーン類で $c_1(\xi) = 0$ であっても区別可能か？
• RQ4 軌道空間のチェーン類とモーメント写像のストラトムは、接触ホモロジーのグレーディングにどのような役割を果たすか？
• RQ5 ボアーゲの定理は、単連結でないか、特異的（軌道空間的）な基底に対しても一般化可能か？

主な発見

• シンプレクティック軌道空間上の $S^1$-バンドルの接触ホモロジーは、基底のホモロジーと、$2m \sum \tilde{w}_j + \dim S$ で与えられる次数シフトに依存する。ここで $m$ は軌道の重複度、$\tilde{w}_j$ は $c_1(T\mathcal{Z})$ の係数である。
• $k,l$ が互いに素で $k-l = c$ である $S^2 \times S^3$ に対して、接触構造 $\xi_{k,l}$ は同じ第一チェーン類を持つが、すべてのペアが非接触同型である。
• 接触ホモロジーのグレーディングは $|p| = 4m(k+l) - 2 + d$ であり、$d = 0,2,4$ で $m \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ である。これにより、同じ $c_1(\xi)$ クラス内に無限個の異なる接触構造が得られる。
• 接触ホモロジーは基底のグロモフ＝ウィッテン不変量により計算され、微分はシンプレクティゼーションのループ空間における勾配軌道に引き上げられるホロモーフィック2次元球面によって決定される。
• 重み付き射影空間 $\mathbb{CP}^{n}(a_1,\dots,a_n)$ に対して、グレーディングは $2km \sum_j \frac{1}{|\Gamma_j|} + \frac{1}{2}\dim S_{T_j} + d + n - 3$ を含み、$d$ は $0$ から $2n$ の間の偶数であり、$c_1(\xi) = 0$ である。
• $c_1(\xi) = 0$ であっても、バンドルおよび軌道空間のデータのみで接触構造を区別できることを示し、$S^2 \times S^3$ の例のように、それらが十分に区別可能である。