[論文レビュー] Contact Path Geometries

Daniel J. F. Fox|ArXiv.org|Aug 18, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、次元が5以上の接触多様体上の接触経路幾何構造を導入し、接触ねじれが消えるとき、Tanaka-Morimoto-Čap-Schichl理論を用いて正規化されたCartan接続を構成できることを示している。主な結果は、2次接触ねじれが消えると、接触経路の空間に分割されたクaternion的接触構造が存在することであり、平坦性は調和的曲率成分の消滅と同値である。

ABSTRACT

Contact path geometries are curved geometric structures on a contact manifold comprising smooth families of paths modeled on the family of all isotropic lines in the projectivization of a symplectic vector space. Locally such a structure is equivalent to the graphs in the space of independent and depedent variables of the family of solutions of a system of an odd number of second order ODE's subject to a single maximally non-integrable constraint. A subclass of contact path geometries is distinguished by the vanishing of an invariant contact torsion. For this subclass the equivalence problem is solved by constructing a normalized Cartan connection using the methods of Tanaka-Morimoto-Čap-Schichl. The geometric meaning of the contact torsion is described. If a secondary contact torsion vanishes then the locally defined space of contact paths admits a split quaternionic contact structure (analogous to the quaternionic contact structures studied by O. Biquard).

研究の動機と目的

• 次元 ≥5 の接触多様体上の接触経路幾何構造を、Cartanの同値法を用いて分類すること。
• 接触ねじれが消えることで特徴づけられる、接触経路幾何構造の標準的クラスを同定すること。
• このクラスの同値問題を、正規化されたCartan接続を用いて解くこと。
• 2次接触ねじれが消えることの幾何的意味、特に分割クaternion的接触構造の出現を特定すること。
• 調和的曲率と正規性が、接触経路幾何構造におけるCartan接続枠組みにおいて果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 本稿では、接触経路幾何構造を、シンプレクティック構造でパラメータ化された、2n−3個の2階非可積分なODE系の解として局所的にモデル化する。
• 接触ねじれは、フィルトレーションの射影接触バンドル上の記号代数がフラットモデルと一致しないことを示すテンソル的障害として定義される。
• Tanaka-Morimoto-Čap-Schichlの延長理論を用いて、接触ねじれが消えるとき、正則かつ正規のCartan接続が構成される。
• Cartan接続の調和的曲率成分を分析し、正則性および正規性の障害を特定する。
• Cartan接続の対応空間を用いて、接触経路構造の幾何と分割クォaternion的接触構造との関係を関連付ける。
• ホモジネイティ (2,-1) の調和的曲率成分の消滅が、平坦性を特徴づけることが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2n−1次元の接触多様体上の接触経路幾何構造が、シンプレクティック射影空間内の等方的直線のフラットモデルと局所的に同値となる条件は何か？
• RQ2 接触ねじれの幾何的意味は何か？ なぜその消滅が正規化されたCartan接続の構成を可能にするのか？
• RQ3 2次接触ねじれは、接触経路空間に分割クォaternion的接触構造が存在することとどのように関係するか？
• RQ4 接触ねじれが消える適切な接触射影構造の平坦性を決定する曲率成分は何か？
• RQ5 Cartan接続の対応空間が、経路空間に分割クォaternion的接触構造を誘導するのはいつか？

主な発見

• 接触ねじれが消えると、射影接触バンドル上のフィルトレーションの記号代数がフラットモデルのそれと一致し、Tanaka-Morimoto-Čap-Schichlの延長理論の適用が可能になる。
• 正規化された、正則で正規のCartan接続が存在するための必要十分条件は、接触ねじれが消えることである。
• 2次接触ねじれが消えることと、接触経路の空間に分割クォaternion的接触構造が存在することは、同値である。
• 接触ねじれが消えるとき、ホモジネイティ (2,-1) の調和的曲率成分が唯一非ゼロになり得るが、その消滅が平坦性を特徴づける。
• 接触ねじれと2次ねじれがともに消える接触経路幾何構造におけるLegendrian部分多様体について、その射影接バンドルの像は、分割クォaternion的接触構造に接する。
• Cartan接続の対応空間が正則かつ正規であるのは、すべてのx ∈ g₀₋₁ ⊕ g₀₋₂に対してi(x)κ_H = 0を満たすときであり、これは非正のホモジネイティ成分の消滅を意味する。