[論文レビュー] Contact processes with random vertex weights on oriented lattices

Xiaofeng Xue|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 17被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、向き付けられた格子 $\mathbb{Z}^d$ 上の独立同分布のランダム頂点重みを備えた接触過程を研究しており、頂点間の感染率はその重みの積に依存する。本研究では、臨界感染率 $\lambda_c(d)$ が $\lim_{d\to\infty} d\lambda_c(d) = 1/\mathbb{E}[\rho^2]$ を満たすことを確立し、次元が増加するに従い頂点重みの2次のモーメントに漸近的に逆比例することを示している。

ABSTRACT

In this paper we are concerned with contact processes with random vertex weights on oriented lattices. In our model, we assume that each vertex x of Z^d takes i. i. d. positive random value ρ(x). Vertex y infects vertex x at rate proportional to ρ(x)ρ(y) when and only when there is an oriented edge from y to x. We give the definition of the critical value λ_c of infection rate under the annealed measure and show that λ_c=[1+o(1)]/(dEρ^2) as d grows to infinity. Classic contact processes on oriented lattices and contact processes on clusters of oriented site percolation are two special cases of our model.

研究の動機と目的

• 向き付けられた $\mathbb{Z}^d$ 上のランダム頂点重みを伴う接触過程の臨界感染率 $\lambda_c(d)$ を分析すること。
• 頂点重みの分布が向き付けられた格子上のエピデミックの生存閾値に与える影響を理解すること。
• アンネールド平均の下で次元 $d \to \infty$ の際の $\lambda_c(d)$ の漸近的挙動を確立すること。
• 古典的接触過程と向き付けられたサイトパーコレーションクラスタ上の接触過程を、提案されたモデルの特別な場合として統合すること。

提案手法

• 独立同分布の頂点重み $\rho(x)$ と向き付けられた辺に依存する反転率を備えた $\mathbb{Z}^d$ 上のスピン系を定義する。
• 頂点 $x$ が向き付けられた辺 $y \to x$ を介して $y$ を、率 $\lambda \rho(x)\rho(y)$ で感染させる感染拡散をモデル化する。
• ランダム重みの平均をとるアンネールド測度 $P_{\lambda,d} = \mathbb{E}[P_\lambda^\omega]$ を用い、$\lambda_c(d)$ を生存閾値として定義する。
• 感染の期待数を制御するために、分岐過程の近似とモーメント母関数の不等式を用いる。
• 生成と重みクラスでインデックスが付いた多型分岐過程を用いて、拡散ダイナミクスをモデル化する。
• 再帰的モーメント推定と幾何級数の収束を用いて、一様可積分性および指数モーメントの上限を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム頂点重みが存在する下で、次元 $d \to \infty$ の際、臨界感染率 $\lambda_c(d)$ はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 高次元の向き付けられた格子において、頂点重みの2次のモーメント $\mathbb{E}[\rho^2]$ は、感染閾値をどの程度支配するか？
• RQ3 このモデルは、古典的接触過程やパーコレーションクラスタ上の接触過程といった既知の結果を特別な場合として回復できるか？
• RQ4 アンネールド測度は、感染過程の生存確率を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 モーメントの上限と分岐過程の近似は、漸近的臨界値を証明するためにどのように役立つか？

主な発見

• 臨界感染率は $\lambda_c(d) \sim \frac{1}{d\mathbb{E}[\rho^2]}$ を満たし、$\lim_{d\to\infty} d\lambda_c(d) = \frac{1}{\mathbb{E}[\rho^2]}$ が成り立つ。
• この結果は、$\lambda_c = 1/\mathbb{E}[\rho^2]$ である完全グラフ上のペテルソンの結果を、高次元格子へ一般化したものである。
• このモデルは、$\mathbb{Z}^d$ 上の古典的接触過程と、向き付けられたサイトパーコレーションクラスタ上の接触過程を特別な場合として含む。
• 証明は、制御されたモーメントを持つ多型分岐過程を用いて、感染の期待数を抑え込むことに依存する。
• 任意の $\gamma > 1$ に対して、$\lambda = \gamma / (d\mathbb{E}[\rho^2])$ のとき、$d$ が十分に大きい場合に感染の期待数は $d$ に一様に有界となり、$\lambda_c(d) \leq \gamma / (d\mathbb{E}[\rho^2})$ を示す。
• ここで $\gamma \downarrow 1$ とすると、$d\lambda_c(d)$ の上界と下界が一致し、正確な漸近的極限が確認される。