[論文レビュー] Contact Representations of Sparse Planar Graphs

Md. Jawaherul Alam, David Eppstein+5 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Structural Analysis and Optimization参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、頂点を重ならない円弧で、辺を内部接触で表現する円弧接触表現（CCA表現）を用いて、スパarsな平面グラフの接触表現を調査する。すべての平面(2,2)-スパースグラフ、および特定の(2,1)-タイト、(2,0)-タイト、(2,3)-タイトおよび(2,4)-タイトグラフの双対グラフがCCA表現を有することを証明するが、すべての(2,0)-タイトマルチグラフがCCA表現を有するとは限らない。さらに、すべての平面(2,0)-スパースグラフが、ワッフル型接触表現を有することを示し、次数制約下での直角ワッフル表現のNP完全性を特定する。

ABSTRACT

We study representations of graphs by contacts of circular arcs, CCA-representations for short, where the vertices are interior-disjoint circular arcs in the plane and each edge is realized by an endpoint of one arc touching the interior of another. A graph is (2,k)-sparse if every s-vertex subgraph has at most 2s - k edges, and (2, k)-tight if in addition it has exactly 2n - k edges, where n is the number of vertices. Every graph with a CCA- representation is planar and (2, 0)-sparse, and it follows from known results on contacts of line segments that for k >= 3 every (2, k)-sparse graph has a CCA-representation. Hence the question of CCA-representability is open for (2, k)-sparse graphs with 0 <= k <= 2. We partially answer this question by computing CCA-representations for several subclasses of planar (2,0)-sparse graphs. In particular, we show that every plane (2, 2)-sparse graph has a CCA-representation, and that any plane (2, 1)-tight graph or (2, 0)-tight graph dual to a (2, 3)-tight graph or (2, 4)-tight graph has a CCA-representation. Next, we study CCA-representations in which each arc has an empty convex hull. We characterize the plane graphs that have such a representation, based on the existence of a special orientation of the graph edges. Using this characterization, we show that every plane graph of maximum degree 4 has such a representation, but that finding such a representation for a plane (2, 0)-tight graph with maximum degree 5 is an NP-complete problem. Finally, we describe a simple algorithm for representing plane (2, 0)-sparse graphs with wedges, where each vertex is represented with a sequence of two circular arcs (straight-line segments).

研究の動機と目的

• 非重複円弧を用いた接触表現（CCA表現）を許容するスパース平面グラフのクラスを特定すること。
• 埋め込みが固定でない場合に、すべての(2,0)-スパース平面グラフがCCA表現を有するかどうかという未解決の問題を解明すること。
• 特に直角などの幾何的制約を伴う場合に、ワッフル（1回曲がりのあるポリライン）を用いた接触表現の存在を調査すること。
• 平面グラフが、弧の凸包が空であるCCA表現を有するための条件を特徴づけること。
• 特定の幾何的性質（例：直角）を有するCCA表現を構築する計算複雑性を検討すること。

提案手法

• グラフ理論的スパース条件：(p,k)-スパースおよび(p,k)-タイトグラフを用い、k ∈ {0,1,2,3,4} の(2,k)-スパースに焦点を当てる。
• (2,k)-タイトグラフの増強および双対性に関する構造的補題を適用し、表現可能な部分クラスを同定する。
• (2,0)-スパースグラフの2−-有向化を用いて、直線図形を介してワッフル型接触表現を構成する。
• 辺の有向化に基づく特徴づけを導入し、弧の凸包が空であるCCA表現が存在する条件を同定する。
• 直角ワッフル表現の問題を幾何的実現可能性に還元し、最大次数5のグラフに対してNP完全性を証明する。
• 擬三角形および角度和に関する幾何的議論を用いて、特定の(2,0)-タイトグラフ（例：正八面体）に対して直角ワッフル表現が不可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 埋め込みが固定でない場合に、すべての(2,0)-スパース平面グラフがCCA表現を有するか？
• RQ2 (2,0)-スパース平面グラフのどの部分クラスがCCA表現を保証するか、そしてその背後にある構造的性質は何か？
• RQ3 すべての平面(2,0)-スパースグラフがワッフル（1回曲がりのあるポリライン）を用いて表現可能か？ また、その表現に影響を与える制約は何か？
• RQ4 (2,0)-タイト平面グラフが直角ワッフルを持つCCA表現を有するかどうかを決定する計算複雑性は何か？
• RQ5 各弧の凸包が空であるCCA表現が存在する条件は何か？

主な発見

• すべての平面(2,2)-スパースグラフはCCA表現を有する。
• (2,1)-タイトまたは(2,0)-タイトな平面グラフで、その双対が(2,3)-または(2,4)-タイトである場合もCCA表現を有する。
• 最大次数5の(2,0)-タイト平面マルチグラフで、CCA表現を有さないものが存在し、すべての(2,0)-タイトグラフがCCA表現可能とは限らないことを示している。
• すべての平面(2,0)-スパースグラフは、各頂点が2セグメントのポリラインで表現されるワッフル型接触表現を有する。
• 最大次数5の(2,0)-タイトグラフに対して、直角ワッフルを持つCCA表現を求める問題はNP完全である。
• 正八面体グラフ（三角形面を有する(2,0)-タイトグラフ）は、外周の角度制約により、直角ワッフルを持つ接触表現を有しない。