[論文レビュー] Contact structures of arbitrary codimension and idempotents in the Heisenberg algebra

Erik van Erp|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、任意の余次元を持つ分布としての多接触構造——最大非可積分性を満たすもの——を導入し、接触構造を一般化する。このような構造は、ヘイゼンベルク計算における非自明な冪等元の存在によって特徴づけられ、一般化されたゼゴ・プロジェクションの構成およびヘイゼンベルク擬微分作用素の $C^*$-代数の標準的分解が得られる。

ABSTRACT

A contact manifold is a manifold equipped with a distribution of codimension one that satisfies a `maximal non-integrability' condition. A standard example of a contact structure is a strictly pseudoconvex CR manifold, and operators of analytic interest are the tangential Cauchy-Riemann operator and the Szego projector onto its kernel. The Heisenberg calculus is the natural pseudodifferential calculus developed originally for the analysis of these operators. We introduce a `non-integrability' condition for a distribution of arbitrary codimension that directly generalizes the definition of a contact structure. We call such distributions polycontact structures. We prove that the polycontact condition is equivalent to the existence of generalized Szego projections in the Heisenberg calculus, and explore geometrically interesting examples of polycontact structures.

研究の動機と目的

• 任意の余次元の分布に対して接触構造の概念を一般化し、『最大非可積分性』の条件を定義すること。
• ヘイゼンベルク擬微分作用素計算における非自明な射影の存在を通じて、このような分布の明確な解析的特徴づけを確立すること。
• ヘイゼンベルク計算および正則関数計算を用いて、多接触多様体上での一般化されたゼゴ・プロジェクションを構成すること。
• コンパクトな多接触多様体上のヘイゼンベルク擬微分作用素の $C^*$-代数が2段階の分解系列をもつことの証明。
• 脂肪バンドル、クaternion的接触多様体、およびハイパーカンフォーマル多様体内の厳密に擬強凸な超曲面といった幾何的例が、多接触条件を実現することを特定すること。

提案手法

• 多接触構造を、任意の消失する非零1次形式 $\theta$ に対して $d\theta|_H$ が非退化であるような分布 $H \subset TM$ として定義する。
• リー括弧から誘導されるレヴィ形式 $B: H \times H \to N$ を用いて $H$ の「ねじれ」を特徴づけ、非退化性が多接触構造を意味することを示す。
• ヘイゼンベルク擬微分作用素のヘルミートイデアル $I_H^0(M)$ における非自明な冪等元の存在が、多接触条件と同値であることを確立する。
• ヘイゼンベルク $C^*$-代数 $\Psi_H^*$ 内の正則関数計算を用いて、$S^{00}_H(M)$ の記号から一般化されたゼゴ・プロジェクションを構成し、バーグマン＝フォック表現を用いる。
• 記号代数 $S^{00}_H(M)$ のノルム完備化を、$S^*N$ 上の連続な $C^*$-代数の族と同一視し、各ファイバーを $C^*(H_m, B_\theta) \cong \mathcal{K}(H^{BF}_{m,\theta})$ と表す。
• ヘイゼンベルク $\Psi_H^*$ の2段階の分解系列を証明する：$0 \to I_H^* \to \Psi_H^* \to C(S^*H) \to 0$ および $0 \to \mathcal{K} \to I_H^* \to C(S^*N, \mathcal{K}) \to 0$ であり、これは接触多様体に対するディニンの結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の余次元の分布に対して、接触構造を『最大非可積分性』の性質を保つようにどのように一般化できるか？
• RQ2 ヘイゼンベルク擬微分作用素計算における非自明な冪等元の存在が、元の分布の幾何的性質とどのように関係するか？
• RQ3 余次元が1でない多様体上でも一般化されたゼゴ・プロジェクションを構成できるか、そしてどのような条件下でその存在が保証されるか？
• RQ4 コンパクト多様体上の多接触分布をもつヘイゼンベルク擬微分作用素の $C^*$-代数の構造はどのようなものか？
• RQ5 脂肪バンドル、クaternion的接触、または共形構造といった幾何的構造は、どのようにして多接触分布を自然に生じさせるか？

主な発見

• 分布 $H \subset TM$ が多接触であることは、任意の消失する非零1次形式 $\theta$ に対して $d\theta|_H$ が非退化であることと同値である。
• ヘイゼンベルク擬微分作用素の代数において、無限次元の核と像をもつ非自明な冪等元の存在は、$H$ が多接触であることと同値である。
• 多接触多様体上では一般化されたゼゴ・プロジェクションが存在し、正則関数計算を用いたヘイゼンベルク擬微分作用素として構成可能である。
• コンパクトな多接触多様体に対して、$C^*$-代数 $\Psi_H^*$ は2段階の分解系列 $0 \to I_H^* \to \Psi_H^* \to C(S^*H) \to 0$ および $0 \to \mathcal{K} \to I_H^* \to C(S^*N, \mathcal{K}) \to 0$ をもつ。これは接触多様体に対するディニンの結果を一般化する。
• 記号 $\sigma_0(m,\xi,\theta) = 2^n \exp(-\|\xi\|^2 / \|\theta\|)$ （$\theta \neq 0$）は、$H$ に適合する共形構造が存在する場合、コンパクト補修正の意味で一意に一般化されたゼゴ・プロジェクションを定義する。
• ヘイゼンベルク群およびヘイゼンベルク型の冪零群は、任意の余次元において多接触構造の例であり、シンプレクティック曲率をもつ脂肪バンドルは、多接触水平分布と同値である。