[論文レビュー] Contact structures, sutured Floer homology and TQFT

Ko Honda, William Kazez+1 more|ArXiv.org|Jul 15, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 62

ひとこと要約

本稿は、サージャー付きフローエルホモロジーに、サージャー付き部分多様体の補集合上に誘導される接触構造から生じる自然な接着写像を確立し、次元削減によって (1+1)次元のトポロジカル量子場理論 (TQFT) の構成を可能にする。主な結果は、符号の不定性を伴うがwell-definedな写像であり、接触不変量を保存するもので、非分離構成の分類や、特定の位相的条件下での不変量の消滅を示す応用を持つ。

ABSTRACT

We describe the natural gluing map on sutured Floer homology which is induced by the inclusion of one sutured manifold (M',Γ') into a larger sutured manifold (M,Γ), together with a contact structure on M-M'. As an application of this gluing map, we produce a (1+1)-dimensional TQFT by dimensional reduction and study its properties.

研究の動機と目的

• サージャー付き部分多様体の補集合上に誘導される接触構造から生じる、サージャー付きフローエルホモロジー上の自然な接着写像を定義すること。
• サージャー付きフローエルホモロジーの次元削減により、(1+1)次元のトポロジカル量子場理論 (TQFT) を構築すること。
• サージャー付きフローエルホモロジーにおける接触不変量が、分離領域を有する場合にどのように消えるかを特定すること。
• ℤ/2ℤ係数において接触不変量が非ゼロとなる条件を特定すること。
• 特に分離された円筒型またはトーラス型領域を有する場合に、バッファーマーブやTQFT操作との関係において接触不変量の挙動を調査すること。

提案手法

• 接触構造 ξ が M−int(M′) 上に存在するとき、m を孤立成分の数として、写像 Φξ: SFH(−M′,−Γ′) → SFH(−M,−Γ) ⊗ V⊗m を定義する。
• ギルバールの理論に従い、接触構造に適した凸なモース関数と開帳分解を用いて、接着プロセスと整合性を持つように保証する。
• サージャー付きフローエルホモロジーのTQFT性質を応用し、バッファーマーブにおける不変量の分解を実施し、このような操作における接触不変量の加法性を活用する。
• ℤ および ℤ/2ℤ 係数で作業し、後者により接触不変量の符号の不定性を排除する。
• 次元削減を用いて、サージャー付きフローエルホモロジーの枠組みから (1+1)次元TQFTを構築する。
• カットアンドパスタテクニックを用いて、バッファーマーブや孤立領域の構成における接触不変量の挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サージャー付きフローエルホモロジーにおける接触不変量が ℤ/2ℤ 係数で消える条件は何か？
• RQ2 接触構造が適合するサージャー付き部分多様体の包含において、写像 Φξ が接触不変量をどのように保存するか？
• RQ3 サージャー付きフローエルホモロジーの次元削減によって得られるTQFTの構造は何か？
• RQ4 孤立領域を有する場合に、バッファーマーブが接触不変量にどのように影響するか？
• RQ5 接触不変量が非ゼロとなるための位相的条件は何か、特に非分離構成との関係において。

主な発見

• 写像 Φξ: SFH(−M′,−Γ′) → SFH(−M,−Γ) ⊗ V⊗m は、全体的な ± の符号の不定性を除いてwell-definedであり、包含において接触不変量を保存する。
• 任意の M′ 上の接触構造 ξ′ に対して、EH(M′,Γ′,ξ′) の Φξ による像は、EH(M,Γ,ξ′∪ξ) ⊗ (x⊗⋯⊗x) に一致する。ここで x は S¹×S² 上の標準的タイト接触構造の接触類である。
• ℤ/2ℤ 係数において、任意の配置 K が孤立領域（円筒や高余約数の曲面を含む）を含む場合、接触不変量は消える。
• 接触不変量は、非分離構成である場合にのみ非ゼロであり、ℤ 上では、それが原始的かつ非分離である場合にのみ非ゼロであると予想されている。
• 一回穴あきトーラスに、∂-平行な弧と境界平行曲線が存在する場合、バッファーマーブを施した構成の不変量は等しくなるため、ℤ/2ℤ 上では相殺が生じる。
• TQFT構造により、分離領域の分析やバッファーマーブの操作の下で、接触不変量の完全な分類が、分割集合の位相的不変量の観点から可能となる。