[論文レビュー] Contact systems and corank one involutive subdistributions

William Pasillas-Lépine, Witold Respondek|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2000

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 24被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、$J^n(\mathbb{R}, \mathbb{R}^m)$ 上の標準接触系と局所的に同値であるような分布が満たすべき幾何的で検証可能な条件を、曲線（k=1）に焦点を当てて提示する。特異点における正規形（拡張されたKumpera-Ruiz正規形）を導入し、Goursat正規形を一般化する。また、エンゲル階数と包合的部分分布に基づく同値性を判定する基準を確立する。

ABSTRACT

We give necessary and sufficient geometric conditions for a distribution (or a Pfaffian system) to be locally equivalent to the canonical contact system on Jn(R,Rm), the space of n-jets of maps from R into Rm. We study the geometry of that class of systems, in particular, the existence of corank one involutive subdistributions. We also distinguish regular points, at which the system is equivalent to the canonical contact system, and singular points, at which we propose a new normal form that generalizes the canonical contact system on Jn(R,Rm) in a way analogous to that how Kumpera-Ruiz normal form generalizes the canonical contact system on Jn(R,R), which is also called Goursat normal form.

研究の動機と目的

• 分布が $J^n(\mathbb{R}, \mathbb{R}^m)$ 上の標準接触系と局所的に同値であるための必要十分な幾何的条件を提供すること、特に曲線（k=1）の場合に焦点を当てる。
• 標準的な正則性仮定が成立しない特異点への接触系理論の拡張。
• 特異ケースにおける余階数1の包合的部分分布を許容するように、Kumpera-Ruiz正規形を一般化すること。
• エンゲル階数と包合的部分分布の存在に基づく、検証可能な幾何的基準を提供し、接触系を同定すること。
• Bryantによる特徴的分布の特徴づけを活用して、標準接触系との局所的同値性を検証する長年の問題を解決すること。

提案手法

• $J^n(\mathbb{R}, \mathbb{R}^m)$ 上の標準接触系を、$|\sigma| \leq n-1$ に対して $dp_i^\sigma - \sum_{j=1}^k p_i^{\sigma+1_j} dq^j = 0$ で定義するPfaff系を用いる。
• エンゲル階数を用いて、分布の局所的構造を特徴づけ、それが正則か特異かを特定する。
• Bryantの結果を用いて、$[\mathcal{B}, \mathcal{B}] \subset \mathcal{D}$ を満たす一意な余階数1の包合的部分分布 $\mathcal{B} \subset \mathcal{D}$ の存在を検証する。
• 特異接触系のための新しい正規形（拡張されたKumpera-Ruiz正規形）を導入し、ジェット空間幾何学を用いてGoursat正規形を一般化する。
• 直交補空間 $\mathcal{D}^\perp = (\omega_1, \dots, \omega_{s_0})$ を用い、$\mathcal{W}(\omega_i) = \{ f \in \mathcal{D} \mid f \lrcorner \, d\omega_i \in \mathcal{D}^\perp \}$ を定義し、特徴的分布を計算する。
• すべての $i,j$ に対して $d\omega_i \wedge d\omega_j \mod \mathcal{I}$ が消えることにより、エンゲル階数1の条件を検証する。これはエンゲル階数1に同値である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線の場合に、分布が $J^n(\mathbb{R}, \mathbb{R}^m)$ 上の標準接触系と局所的に同値であるための幾何的条件は何か？
• RQ2 正則点（系が標準接触系と局所的に同値）と特異点をどのように区別できるか？
• RQ3 Kumpera-Ruiz形式およびGoursat形式を一般化する、特異接触系に適した正規形は何か？
• RQ4 与えられた分布内に余階数1の包合的部分分布が存在するための条件は何か？
• RQ5 エンゲル階数などの古典的微分不変量を用いて、そのような部分分布の存在をどのように検証できるか？

主な発見

• 定理1.1は、エンゲル階数と余階数1の包合的部分分布の存在に基づく、分布が $J^n(\mathbb{R}, \mathbb{R}^m)$ 上の標準接触系と局所的に同値であるための必要十分な幾何的条件を確立する。
• 正則点では、系が標準接触系と局所的に同値であるための必要十分条件は、エンゲル階数が1であり、かつ余階数1の包合的部分分布が存在することである。
• 特異点では、Goursat正規形を一般化する、新たな正規形（拡張されたKumpera-Ruiz正規形）が存在し、Kumpera-RuizがGoursatを一般化するのと同様の仕組みで一般化される。
• Bryantの方法を用いて、直交補空間 $\mathcal{D}^\perp$ と集合 $\mathcal{W}(\omega_i)$ を用いて、$[\mathcal{B}, \mathcal{B}] \subset \mathcal{D}$ を満たす余階数1の包合的部分分布 $\mathcal{B}$ の存在が特徴づけられる。
• すべての $i,j$ に対して $d\omega_i \wedge d\omega_j \equiv 0 \mod \mathcal{I}$ であることは、エンゲル階数1に同値であり、正則ケースにおける検証可能な基準を提供する。
• 一意なこのような部分分布 $\mathcal{B}$ の構成は $\mathcal{B} = \sum_{i=1}^{r_0} \mathcal{W}(\omega_i)$ で明示的に与えられ、$r_0 = 2$ の場合には2つの形式のみを用いれば十分である。