[論文レビュー] Containment: A Variation of Cops and Robbers

Danny Crytser, Natasha Komarov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、泥棒が頂点に捕まるのではなく、泥棒の頂点に接するすべての辺を占拠することで勝利する『Containment』と呼ばれる、Cops and Robberゲームの変種を紹介する。主な貢献は、含み可能数 ξ(G) に対する境界を確立し、c(G) ≤ ξ(G) ≤ Δ(G)γ(G) を示し、特定の3正則グラフに対して ξ(G) = Ω(n^{1/6}) であることを証明することで、スパarsなグラフにおける無限大の含み可能性を示している。

ABSTRACT

We consider "Containment": a variation of the graph pursuit game of Cops and Robber in which cops move from edge to adjacent edge, the robber moves from vertex to adjacent vertex (but cannot move along an edge occupied by a cop), and the cops win by "containing" the robber---that is, by occupying all $°(v)$ of the edges incident with a vertex $v$ while the robber is at $v$. We develop bounds that relate the minimal number of cops, $ξ(G)$, required to contain a robber to the well-known "cop-number" $c(G)$ in the original game: in particular, $c(G) {\le} ξ(G) {\le} γ(G) Δ(G)$. We note that $ξ(G) {\geq} δ(G)$ for all graphs $G$, and analyze several families of graphs in which equality holds, as well as several in which the inequality is strict. We also give examples of graphs which require an unbounded number of cops in order to contain a robber, and note that there exist cubic graphs with $ξ(G) \geq Ω(n^{1/6})$.

研究の動機と目的

• 『Containment』と呼ばれる、泥棒を頂点に捕らえるのではなく、その頂点に接するすべての辺を占拠することで勝利する、Cops and Robberゲームの新しい変種を形式化し、分析すること。
• 任意の連結な無向グラフ G に対して泥棒を含めるために必要な最小の泥棒数 ξ(G) を特定すること。
• 古典的なグラフパラメータ（泥棒数 c(G)、ドミネーティング数 γ(G)、最大次数 Δ(G)）との関係を理論的に境界づけること。
• 特にスパarsまたは高サイクル長のグラフにおいて、含み可能数が無限大に達するようなグラフの存在を調査すること。
• 特に正則または3正則グラフにおいて、含み可能または非含み可能なグラフの構造的性質を調査すること。

提案手法

• ゲームルールの定義：泥棒は頂点から隣接頂点へ移動し、泥棒は辺から隣接する辺へ移動する。ゲームは泥棒の頂点に接するすべての辺が泥棒に占拠された時点で終了する。
• グラフ G における含み可能数 ξ(G) を、G で泥棒を確実に含めるために必要な最小の泥棒数として定義する。
• Containment戦略を通常のCops and Robber戦略に還元することで、c(G) ≤ ξ(G) ≤ Δ(G)γ(G) を証明する。
• 極値グラフ理論、特に高サイクル長および最小次数に関するFranklの定理を用いて、含み可能数が大きなグラフを構成する。
• 高サイクル長の正則および3正則グラフを分析し、ξ(G) の下界を導出する。特定の3正則グラフ族に対して ξ(G) = Ω(n^{1/6}) を示す。
• サイクル長と次数の制約を用いて、δ > 2 かつサイクル長 ≥ 5 であるδ正則グラフがδ人の泥棒では含められないことを証明し、非含み可能条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元のCops and Robberゲームにおける含み可能数 ξ(G) と古典的泥棒数 c(G) の関係は何か？
• RQ2 最大次数 Δ(G) が有界であっても、n と共に ξ(G) が無限大に発散するようなグラフは存在するか？
• RQ3 特に正則または3正則グラフのどの族において、含み可能数 ξ(G) が Δ(G) よりも厳密に大きくなるか？
• RQ4 サイクル長や正則性などの構造的条件下で、Δ(G) 人の泥棒では含められないことが証明できるグラフはどのようなものか？
• RQ5 2つの含み可能なグラフのカルテジアン積 G□H は常に含み可能か？そうでない場合、このような積における含み可能性を保証または阻止する条件は何か？

主な発見

• 含み可能数 ξ(G) は c(G) ≤ ξ(G) ≤ Δ(G)γ(G) を満たし、古典的グラフパラメータと関連づけられる。
• すべてのグラフ G に対して ξ(G) ≥ Δ(G) が成り立ち、完全グラフや特定の木など、いくつかの族では等号が成立する。
• Δ(G) が有界であっても、含み可能数が n と共に無限大に発散するようなグラフが存在し、ξ(G) が n と共に増大しうることを示している。
• 高サイクル長の3正則グラフに対しては ξ(G) = Ω(n^{1/6}) が成り立ち、スパarsなグラフにおいても含み可能に必要な泥棒数が非定数であることを示している。
• ペテルセングラフは Δ(G) = 3 人の泥棒では含められない。一般に、δ > 2 かつサイクル長 ≥ 5 であるδ正則グラフはδ人の泥棒では含められない。
• G□H が含み可能であるならば G と H が含み可能であるという予想は誤りであり、Q₃□K₂ = Q₄ が反例として示されている。