[論文レビュー] Containment Problems for Projections of Polyhedra and Spectrahedra

Kai Kellner|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2015

Advanced Theoretical and Applied Studies in Material Sciences and Geometry参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、多面体とスペクトラヒドロンの射影に関する包含問題を、多項式非負性問題として定式化することで、高度な Positivstellens"atze を用いた半定形条件の階層を可能にする。主な貢献は、射影された集合のための洗練された Positivstellensatz を得ることであり、これにより半定形条件の階層が得られ、最初の段階は正の線形写像からの単一基準と一致し、関連写像の完全正値性と包含関係を結びつける新しい特徴付けが得られる。

ABSTRACT

Spectrahedra are affine sections of the cone of positive semidefinite matrices which form a rich class of convex bodies that properly contains that of polyhedra. While the class of polyhedra is closed under linear projections, the class of spectrahedra is not. In this paper we investigate the problem of deciding containment of projections of polyhedra and spectrahedra based on previous works on containment of spectrahedra. The main concern is to study these containment problems by formulating them as polynomial nonnegativity problems. This allows to state hierarchies of (sufficient) semidefinite conditions by applying (and proving) sophisticated Positivstellensätze. We also extend results on a solitary sufficient condition for containment of spectrahedra coming from the polyhedral situation as well as connections to the theory of (completely) positive linear maps.

研究の動機と目的

• スぺクトラヒドロンと多面体の包含基準を、それらの射影へと拡張すること。多面体とは異なり、射影に関して閉じていない点を含む。
• 射影された凸集合の包含関係を多項式非負性問題として定式化し、半定形計画法によるアルゴリズム的取り扱いを可能にすること。
• 非射影状態から一般化された十分条件（特に単一基準）を、射影状態へと拡張すること。
• 射影された状況における包含関係と、正値線形写像および完全正値線形写像の理論との関係を確立すること。
• 射影された集合の幾何的性質を組み込んだ、洗練された Positivstellensatz を開発し、十分な半定形条件の階層を導出すること。

提案手法

• 多面体とスぺクトラヒドロンの射影の包含関係を、パラメータ変数と補助変数の積上での双線形非負性問題として定式化する。
• Putinar および Hol-Scherer の Positivstellens"atze を適用し、包含関係のための半定形条件の階層を導出する。
• 射影された集合の幾何的構造を組み込んだ、洗練された Positivstellensatz を導入し、標準的手法よりも改善する。
• 線形パencil を用いてスぺクトラヒドロンを表現し、包含関係を正値性によって符号化するための関連線形写像 $\Phi_{AB}$ と $\widehat{\Phi}_{AB}$ を定義する。
• 射影されたスぺクトラヒドロンの包含関係と、写像 $\widehat{C}$ の完全正値性との間の同値性を確立し、単一基準と関連付ける。
• 幾何的およびスケーリング的議論を用いて、有界性と空でない性質の仮定の下で、包含関係が $\widehat{\Phi}_{AB}$ の正値性を意味することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多面体の射影に関する包含問題は、多項式非負性問題に還元可能か。その計算複雑性はいかほどか。
• RQ2 スぺクトラヒドロンの包含に関する十分な半定形基準を、一方の集合が射影である場合にまで拡張することは可能か。
• RQ3 射影されたスぺクトラヒドロンの包含関係と、関連写像の正値性との間にはどのような関係があるか。
• RQ4 洗練された Positivstellens"atze を用いて、射影された包含関係のための半定形条件の階層を構築することは可能か。
• RQ5 射影された包含関係のための半定形条件の階層で、有限収束が成立する条件は何か。

主な発見

• 多面体の射影に関する包含問題は co-NP 完全であり、非射影状態と比較して複雑性が上昇していることを示す。
• 射影されたスぺクトラヒドロンがスぺクトラヒドロンに含まれるための十分な半定形基準が得られ、非射影状態からの単一基準を一般化した。
• 提案された半定形条件の階層の最初の段階は、単一基準と一致し、従来の結果と整合性を保つ。
• 射影された集合の幾何的データを組み込んだ洗練された Positivstellensatz が確立され、より強い収束保証が可能になる。
• 有界性と厳密可解性の仮定の下で、$\pi(S_A)$ が $S_B$ に含まれることは、$\widehat{C}$ が表す写像 $\widehat{\Phi}_{AB}$ の完全正値性と同値である。
• 特別な2次元有界スぺクトラヒドロンの族に対して、階層が有限収束することを示し、従来の有限収束結果を拡張する。