[論文レビュー] Continuation method for PDE-constrained global optimization: Analysis and application to the shallow water equations

Jorn Baayen, Teresa Piovesan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2018

Advanced Control Systems Optimization参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、PDE制約付きのグローバル最適化問題を、凸緩和問題を非凸問題へとパス安定で分岐のないホモトピー経路を介して変形することで、グローバル最適性を保証するホモトピー続行法を提案する。この手法は、ネストされたホモトピーにより凸性の性質を維持することで、浅い水方程式に従う河川ネットワークを含む大規模システムの効率的な閉ループモデル予測制御を可能にする。

ABSTRACT

This paper shows how a class of non-convex optimization problems constrained by discretized nonlinear partial differential equations may be solved to global optimality using an interior point continuation method. The solution procedure rests on a nested homotopy. The inner homotopy solves a barrier problem by driving the barrier parameter to zero. The outer homotopy deforms a convex relaxation to the original non-convex problem in a way that stays clear of bifurcations. A requirement for global optimality is that the objective is convex and that the search space remains path-connected. As a case study, a class of real-world optimization problems subject to the shallow water equations is analyzed. A benchmark as well as a practical implementation demonstrate that the approach is suitable for closed-loop non-convex model predictive control of large-scale cyber-physical systems.

研究の動機と目的

• リアルタイム制御環境下で大規模で非凸的かつPDE制約付きの最適化問題をグローバル最適に解くという課題に対処すること。
• 非凸問題に対してグローバル最適性を保証できない従来の内点法の限界を克服すること。
• 多項式階層法に比べて計算量が高く、大規模な閉ループ制御には不適切であるという点を改善する、計算効率の高い代替手法を開発すること。
• ホモトピー続行法を用いて、非凸問題の局所最適解がグローバル最適であるための十分条件を確立すること。
• オランダの水管理システムにおける浅い水方程式を用いた実世界の事例研究を通じて、実用的応用の有効性を示すこと。

提案手法

• ネストされたホモトピー枠組みを構築する：内側のホモトピーはバリアパラメータを0に近づけることでバリア問題を解き、外側のホモトピーは凸緩和問題を元の非凸問題へと変形する。
• 外側ホモトピーは変形パラメータ θ ∈ [0,1] を用いる。θ=0 は凸緩和（グローバル最適解が保証される）に対応し、θ=1 は元の非凸問題に対応する。
• 本手法は、解のパスが連続的かつ分岐が生じないことを保証する2つの新概念、ゼロ凸性とパス安定性に依存する。
• θ=0における凸解からθ=1における最終解へと、連続的かつ一意的な解パス f(θ) が追跡され、グローバル最適性が保持される。
• 各θステップにおいて内点法が適用され、プライマルおよび双対の妥当性が保たれ、変数の正の値が厳密に維持される。
• Lasserre階層法とは異なり、変数の数を増加させないため、最大500,000変数の問題へもスケーラブルに拡張可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸的かつPDE制約付きの最適化問題が、ホモトピーに基づくアプローチによってグローバル最適に解ける条件は何か？
• RQ2 パス安定性とゼロ凸性を形式的に定義し、解パスに分岐が生じないことを保証するためにどのように活用できるか？
• RQ3 大規模なサイバーフィジカルシステムのリアルタイム・閉ループモデル予測制御に、ホモトピー続行法を効率的に実装できるか？
• RQ4 ヒューリスティック法やグローバル最適化手法と比較して、本手法は水理的制御問題において計算効率および解の品質の点でどの程度優れているか？
• RQ5 可動堰やタービンなどの非線形水理的部品を最適化フレームワークに組み込む際、パス安定性をどのように維持できるか？

主な発見

• 提案されたホモトピー法は、目的関数が凸であり、問題がパス安定である限り、凸緩和から非凸問題への連続的かつ分岐のないパスを維持することで、グローバル最適性を保証する。
• 多項式階層法とは異なり、変数の数を増加させることなく、非凸的PDE制約付き最適化問題のグローバル最適化を実現する。
• 最大500,000変数のベンチマークにより、本手法のスケーラビリティと大規模システムへの適性が実証された。
• 本手法は、オランダの370 kmの運河システムにおけるリアルタイムモデル予測制御に成功裏に実装され、4つのポンプ所を介して水位と水質を管理した。
• 10ノード・72時間ステップの例題は、MacBook Proで約0.4秒で解かれた。これはリアルタイム実行の可能性を示している。
• 本手法は、可動堰やタービンなどの非線形水理的構造物を最適化フレームワーク内に組み込むことを可能とし、複雑な水管理システムにおける実用的導入を可能にした。