[論文レビュー] Continued fractions and Parallel SQUFOF

Stephen S. McMath, F. Crabbe+1 more|ArXiv.org|Jan 11, 2006

Numerical Methods and Algorithms参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、二重連分数と二次形式を用いたSQUFOF整数分解アルゴリズムの理論的基盤を提示し、周期性や対称性といった重要な性質を証明することで、因数分解を明らかにする。また、プロセッサ数の増加に伴ってプロセッサあたりの効率が維持されるセグメントベースの並列化手法を導入し、高並列度において乗数ベースの手法を上回る性能を示す。

ABSTRACT

In this partly expository paper, we discuss three results. (1) That the two-sided continued fraction of the normalized square root (an important part of the SQUFOF algorithm) has several very attractive properties - periodicity, a symmetry point corresponding to a factorization of $N$, and so on. (2) The infrastructure distance formula. (3) A method for parallelization of SQUFOF that maintains its efficiency per procesor as the number of processors increases, and thus is predicted to be useful for very large numbers of processors. The first two are known (in one form or another), the third may be new (at least the implementation in C using MPI is new).

研究の動機と目的

• SQUFOFアルゴリズムのオリジナル版を完全に提示すること。これは、以前に完全な形で発表されていなかった。
• 正規化された平方根の二重連分数展開が周期性および対称性を示すことを証明し、対称点がNの非自明な因数分解に対応することを明らかにすること。
• SQUFOFの主要理論的要素であるインフラストラクチャ距離公式を確立し、従来の文献に存在しなかった厳密な証明を提供すること。
• プロセッサ数の増加に伴ってプロセッサあたりの効率が維持されるような、SQUFOFのための新規並列化戦略を開発・評価すること。
• 大規模並列環境におけるセグメントベースの並列化と乗数ベースの手法のスケーラビリティおよび性能を比較すること。

提案手法

• Nの正規化された平方根の二重連分数を用い、判別式Nの整数係数2次形式のサイクルを生成する。
• 実二次体における削減済みおよび適切に同値な形式の理論を適用し、連分数サイクルの構造を分析する。
• クラス群における単位元からの距離に基づき、ある形式がNの因数分解に対応するかどうかを検出するためにインフラストラクチャ距離公式を用いる。
• 連分数サイクルを重複のないセグメントに分割し、各セグメントを別々のプロセッサが独立して処理するセグメントベースの並列化戦略を実装する。
• C言語でMPIを用いて、64プロセッサのSGI Origin 2800システム上でセグメントベース手法を実装・ベンチマークする。
• Nを小さな平方自由整数で乗じることで複数の因数分解インスタンスを生成する乗数ベースの手法と性能を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SQUFOFの文脈において、正規化された平方根の二重連分数展開が示す理論的性質（周期性や対称性）は何か？
• RQ2 インフラストラクチャ距離公式は、どのように厳密に導出され、2次形式のサイクル内での因数分解の検出に応用されるか？
• RQ3 SQUFOFに適用可能なセグメントベースの並列化戦略は、プロセッサ数の増加に伴っても高いプロセッサあたりの効率を維持できるか？
• RQ4 スケーリングと実行時間短縮の観点から、セグメントベースの並列化と乗数ベースの並列化の性能はどのように比較できるか？
• RQ5 プロセッサ数の増加に伴って、セグメントベースの並列化が乗数ベースの手法を効率面で上回るまでの閾値は何か？

主な発見

• Nの正規化された平方根の二重連分数は、周期的であることが証明され、その対称点がNの非自明な因数を直接示す。
• インフラストラクチャ距離公式が厳密に証明され、SQUFOFサイクル内での因数分解検出の理論的根拠が提供される。
• セグメントベースの並列化は、プロセッサ数の増加に伴っても高いプロセッサあたりの効率を維持し、負荷不均衡のボトルネックを回避する。
• 実験的結果から、セグメントベースの並列化は20〜50プロセッサの範囲で実行時間を半減させる一方、乗数ベースの手法はスケーリングに伴い利得が減少することが示された。
• 線形および2次回帰モデルにより、セグメントベースの並列化が乗数ベースの手法を上回るようになるクロスオーバー点が約47〜80プロセッサの範囲で予測された。
• 大規模並列による大規模整数の因数分解において、セグメントベースの手法が乗数手法よりも効率的であると予測される。