[論文レビュー] Continued fractions, modular symbols, and non-commutative geometry

Yuri I. Manin, Matilde Marcolli|ArXiv.org|Feb 1, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、連分数、モジュラー記号、非可換幾何学の間の深い関係を確立する。具体的には、連分数の収束分数の合同性を含むようにガウス＝クズミン定理を一般化し、重み2のモジュラー形式に付随するディリクレ級数が、連分数とモジュラー記号によって定義された関数の積分から生じることを示している。さらに、商 $PGL(2,\mathbb{Z})\setminus\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ が非可換モジュラー曲線であると提唱し、その $K_0$-理論が交叉積 $C^*$-代数のピムスナー完全列によって実現されることを示している。

ABSTRACT

Using techniques introduced by D. Mayer, we prove an extension of the classical Gauss-Kuzmin theorem about the distribution of continued fractions, which in particular allows one to take into account some congruence properties of successive convergents. This result has an application to the Mixmaster Universe model in general relativity. We then study some averages involving modular symbols and show that Dirichlet series related to modular forms of weight 2 can be obtained by integrating certain functions on real axis defined in terms of continued fractions. We argue that the quotient $PGL(2,\bold{Z})\setminus\bold{P}^1(\bold{R})$ should be considered as non-commutative modular curve, and show that the modular complex can be seen as a sequence of $K_0$-groups of the related crossed-product $C^*$-algebras. This paper is an expanded version of the previous "On the distribution of continued fractions and modular symbols". The main new features are Section 4 on non-commutative geometry and the modular complex and Section 1.2.2 on the Mixmaster Universe.

研究の動機と目的

• 連分数の連続する収束分数の合同性を含むように、古典的なガウス＝クズミン定理を拡張すること。
• 重み2の尖点形式のメリン変換が、連分数とモジュラー記号によって定義された自己同型級数の積分から生じることを示すこと。
• $PGL(2,\mathbb{Z})\setminus\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ を非可換モジュラー曲線とみなす提唱を行い、その $K$-理論をピムスナー列を用いてモジュラー複体と関連付けること。
• 有理数でない点に終わる測地線に対するモジュラー記号を「極限モジュラー記号」に一般化し、一般の無理数に対して平均的意味で消える結果を得ること。

提案手法

• 連分数展開のスペクトル的性質を解析するため、ルエルの転送作用素（ガウス＝クズミン作用素）の使用。
• $[0,1]\times\mathbb{P}$ 上の片側シフトから得られる群ガロア $\mathcal{G}(X,T)$ を構成し、非可換境界空間としての $C^*$-代数 $C^*(\mathcal{G}(X,T))$ を得ること。
• $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ 内の無理数点に終わる測地線を用いて「極限モジュラー記号」を定義し、一般の無理数に対して平均的意味で消える結果を得ること。
• 非可換モジュラー曲線に付随する交叉積 $C^*$-代数の $K$-理論と関連して、モジュラー複体をピムスナー完全列として同定すること。
• $[0,1]\times[0,1]\times\mathbb{P}$ 上の二重シフト $\tilde{T}$ を用いて、モジュラー曲線上の測地線フローのポincare再帰写像をモデル化すること。
• Cuntz–Krieger代数の技法を $C^*(\mathcal{G})$ および $C^*(\Sigma\times\mathbb{P})\rtimes G$ に適用し、$K$-理論をマルコフ分割と力学系に結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なガウス＝クズミン定理は、連分数展開における収束分数の合同性をどのように一般化できるか？
• RQ2 重み2のモジュラー形式に付随するディリクレ級数は、連分数とモジュラー記号によって定義された関数の積分から再構成可能か？
• RQ3 $PGL(2,\mathbb{Z})\setminus\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ は非可換幾何学において果たす役割は何か？また、モジュラー曲線とどのように関連するか？
• RQ4 モジュラー記号は、有理数でない点に終わる測地線にどのように一般化され、そのスペクトル的または力学的結果は何か？
• RQ5 モジュラー複体は、交叉積 $C^*$-代数を用いた $K$-理論完全列として実現可能か？

主な発見

• 一般化されたガウス＝クズミン定理は、連続する収束分数の合同性を扱い、古典的な分布結果を拡張している。
• 重み2のモジュラー形式のディリクレ級数は、連分数とモジュラー記号から構成された関数の実軸に沿った積分のメリン変換として生じる。
• 商 $PGL(2,\mathbb{Z})\setminus\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ は非可換モジュラー曲線と特定され、その $K_0$-群はピムスナー完全列を介してモジュラー曲線のホモロジーと同型である。
• 有理数でない点に終わる測地線に対する極限モジュラー記号は、平均的意味で消える。その結果はルエルの転送作用素のスペクトル的性質に依存する。
• モジュラー複体は、非可換モジュラー曲線に付随する交叉積 $C^*$-代数の $K$-理論のピムスナー完全列として実現される。
• $C^*(\mathcal{G}(X,T))$ や関連する $C^*$-代数（Cuntz–Krieger代数も含む）の $K$-理論は、$(I - A^t)$ を用いて計算可能であり、力学系とモジュラー幾何学を結びつける。