[論文レビュー] Continuity and differentiability properties of the isoperimetric profile in complete noncompact Riemannian manifolds with bounded geometry

Abraham Muñoz Flores, Stefano Nardulli|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、リッチ曲率が下から有界であり、単位球の体積が一様に正であるという有界幾何構造を持つ、完備非コンパクトリーマン多様体における等周的プロファイル $I_M$ の連続性および微分可能性の性質を確立する。追加の幾何的制約のもとで、$I_M$ が微分不等式を満たすことを証明し、古典的な結果をコンパクトな設定から非コンパクトな設定へと拡張する。

ABSTRACT

For a complete noncompact connected Riemannian manifold with bounded geometry $M^n$, we prove that the isoperimetric profile function $I_{M^n}$ is continuous. Here for bounded geometry we mean that $M$ have $Ricci$ curvature bounded below and volume of balls of radius $1$, uniformly bounded below with respect to its centers. Then under an extra hypothesis on the geometry of $M$, we apply this result to prove some differentiability property of $I_M$ and a differential inequality satisfied by $I_M$, extending in this way well known results for compact manifolds, to this class of noncompact complete Riemannian manifolds with bounded geometry.

研究の動機と目的

• 完備非コンパクトリーマン多様体における等周的プロファイル $I_M$ の連続性を確立すること。
• 追加の幾何的仮定の下で、$I_M$ の微分可能性および微分不等式の結果をコンパクト多様体から非コンパクト多様体へと拡張すること。
• 有限境界を持つ集合を用いて定義される弱い定式化と、強い定式化との間の同値性を示すこと。
• リッチ曲率の下界と崩壊の可能性が与えられた状況でも、$I_M$ の連続性および凹型不等式の性質が保持されるかを検討すること。
• リッチ曲率が下から有界で、かつ崩壊しない非コンパクト設定において、バヴァールド＝パンス型不等式が有効であるかを調査すること。

提案手法

• 有限境界を持つ集合を用いた等周的プロファイルの弱い定式化 $\tilde{I}_M(v) = \inf\{\mathcal{P}(\Omega) : V(\Omega) = v, \Omega \in \tilde{\tau}_M\}$ を用い、古典的定義を一般化する。
• 有界変動関数（BV）理論および減少境界 $\partial^*\Omega$ を用いて、滑らかでない集合に対しても幾何的正則性を保証する。
• 定数曲率 $k$ をもつモデル空間 $\mathbb{M}_k^n$ を用いた比較幾何学により、等周的領域の平均曲率および内接半径を評価する。
• 非崩壊条件（単位球の体積が一様に正）を用いて、小さな測地的球を追加または除去することでテスト集合を構成し、下半連続性を証明する。
• 付録に記載されたバヴァールド＝パンスの一般化された等周不等式を応用し、分布の意味で $I_M - Cv^2$ に対する微分不等式を導出する。
• すべての体積 $v \in (0, V(M))$ に対して等周的領域が存在することを仮定し、$I_M$ に対する2階の分布的評価を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完備非コンパクトリーマン多様体において、有界幾何構造のもとで等周的プロファイル $I_M$ は連続性を保つのか？
• RQ2 どのような幾何的条件下で、$I_M$ の微分可能性および微分不等式の結果をコンパクト多様体から非コンパクト多様体へと拡張できるか？
• RQ3 非コンパクト多様体において、等周的プロファイルの強い定式化と弱い定式化は同値であるか？
• RQ4 バヴァールド＝パンスの凹型不等式は、リッチ曲率が下から有界で、かつ崩壊しない非コンパクト多様体へと一般化可能か？
• RQ5 リッチ曲率の下界と等周的領域の存在が保証される場合、崩壊する状況であっても $I_M$ の連続性は保証されるのか？

主な発見

• 任意の完備非コンパクトリーマン多様体 $M$ に対して、$\mathrm{Ric} \geq k$ かつすべての $p \in M$ に対して $\mathrm{Vol}(B(p,1)) \geq v_0 > 0$ を満たす有界幾何構造のもとで、等周的プロファイル $I_M$ は $[0, V(M))$ 上で連続である。
• すべての体積 $v \in (0, V(M))$ に対して等周的領域が存在するという仮定のもとで、ある定数 $C = C(a,b,n,k,M)$ を用いて、関数 $v \mapsto I_M(v) - C v^2$ は分布の意味で非正の2階微分を持つ。
• 同じ仮定のもとで、$k < 0$ の場合、分布の意味で微分不等式 $I_M''(v) \leq -\frac{(n-1)k}{I_M(v)}$ が成立する。
• 弱い定式化と強い定式化は同値である：非コンパクト設定であっても $I_M = \tilde{I}_M$ が成り立つ。
• 連続性の証明は、非崩壊条件を活用し、一様な大きさの小さな測地的球を追加または除去することでテスト集合を構成する手法に依存する。
• 結果として、有界幾何構造のもとで、古典的な結果が非コンパクト多様体へと拡張される。著者らは、非崩壊条件なしにリッチ曲率の下界だけでは連続性が保証されるかについては未解決としている。