[論文レビュー] Continuity of attractors for a nonlinear parabolic problem with terms concentrating in the boundary

Gleiciane S. Aragão, Antônio Luíz Pereira+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2012

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 12被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、厚さパラメータ $\epsilon \to 0$ の際に薄く振動する境界層に集中する反応項およびポテンシャル項を有する非線形放物型PDEの解の漸近的挙動を調査する。特異摂動技法とスペクトル解析を用いて、$H^1(\Omega)$におけるグローバルアトラクターの上半連続性および下半連続性を確立し、すべての平衡解が双曲的である場合に、特異問題のアトラクターが非線形境界条件を有する極限問題のアトラクターに収束することを証明する。

ABSTRACT

We analyze the dynamics of the flow generated by a nonlinear parabolic problem when some reaction and potential terms are concentrated in a neighborhood of the boundary. We assume that this neighborhood shrinks to the boundary as a parameter εgoes to zero. Also, we suppose that the "inner boundary" of this neighborhood presents a highly oscillatory behavior. Our main goal here is to show the continuity of the family of attractors with respect to ε. Indeed, we prove upper semicontinuity under the usual properties of regularity and dissipativeness and, assuming hyperbolicity of the equilibria, we also show the lower semicontinuity of the attractors at ε=0.

研究の動機と目的

• 反応項およびポテンシャル項が境界付近の縮小・振動する近傍に集中する非線形放物型問題のダイナミクスを解析すること。
• 濃縮パラメータ $\epsilon \to 0$ における解の漸近的挙動を調査すること。
• パrameter $\epsilon$ でパラメトリズドされた問題族に関連するグローバルアトラクターの連続性を確立すること。
• 極限問題が $\partial\Omega$ 上のフラックス項およびポテンシャルを含む非線形境界条件を有する放物型PDEであることを示すこと。
• すべての平衡解が双曲的であるという仮定の下で、$\epsilon = 0$ におけるアトラクターの下半連続性を証明すること。

提案手法

• 反応項およびポテンシャル項の濃縮を、境界 $\partial\Omega$ に近い薄い振動する $\epsilon$-ストリップ $\omega_\epsilon$ 上の特性関数 $\mathcal{X}_{\omega_\epsilon}$ を用いてモデル化する。
• 周期的アンフォールディング法と弱収束を用いて、濃縮項の極限を特定し、$\frac{1}{\epsilon}\int_{\omega_\epsilon} V_\epsilon \varphi \to \int_{\partial\Omega} V_0 \varphi$ が $\epsilon \to 0$ の際に成り立つことを示す。
• 解およびその微分に関する $H^1(\Omega)$ における一様なバインディングを確立し、半群の収縮性および正則性を保証する。
• 漸近的コンパクトネスと半群 $T^\epsilon(t)$ が強作用素位相で $T^0(t)$ に収束することを用いて、アトラクターの上半連続性を証明する。
• スペクトル収束結果を適用し、線形化作用素 $L_\epsilon(u^*)$ が $\epsilon \to 0$ の際にノルム収束で $L_0(u^*)$ に収束することを示し、双曲的性の保存を保証する。
• 平衡解の近傍における不安定多様体の連続性（命題5.2）と勾配系の構造を用いて、アトラクターの下半連続性（定理5.3）を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 濃縮パラメータ $\epsilon \to 0$ の際に、境界集中項を有する特異放物型問題のグローバルアトラクターは、非線形境界条件を有する極限問題のアトラクターに収束するか？
• RQ2 アトラクター族 $\{\mathscr{A}_\epsilon\}$ が $\epsilon = 0$ で上半連続となる条件は何か？
• RQ3 極限問題のすべての平衡解が双曲的である場合、アトラクターの下半連続性を確立できるか？
• RQ4 濃縮領域 $\omega_\epsilon$ の振動的挙動は、系の長期的ダイナミクスにどのように影響するか？
• RQ5 平衡解における線形化作用素のスペクトル的性質とアトラクターの連続性との関係は何か？

主な発見

• 標準的な正則性および収縮性仮定の下で、$\epsilon \in [0,\epsilon_0]$ におけるグローバルアトラクター族 $\{\mathscr{A}_\epsilon\}_{\epsilon \in [0,\epsilon_0]}$ は $H^1(\Omega)$ において $\epsilon = 0$ で上半連続である。
• さらに、極限問題（$\epsilon = 0$）のすべての平衡解が双曲的であるという追加仮定の下で、アトラクター族は $H^1(\Omega)$ において $\epsilon = 0$ で下半連続である。
• 極限問題は、$\partial\Omega$ で $\frac{\partial u_0}{\partial N} + V_0 u_0 = \mu f(u_0)$ を満たす放物型PDEである。ここで $\mu$ は周期関数 $g_\epsilon$ における平均値である。
• 半群 $T^\epsilon(t)$ から $T^0(t)$ への収束は $H^1(\Omega)$ において連続的であり、$\mathbb{R}^+ \times H^1(\Omega)$ の有界集合上で一様である。これはアトラクター連続性を支持する。
• 線形化作用素 $L_\epsilon(u^*)$ は $\epsilon \to 0$ の際に作用素ノルム収束で $L_0(u^*)$ に収束し、双曲的平衡解が摂動のもとでも保存されることを保証する。
• 平衡解 $u^*_{\epsilon,i}$ の局所的不安定多様体は $\epsilon \to 0$ の際に $u^*_{0,i}$ の不安定多様体に $H^1(\Omega)$ で収束する。これは下半連続性の証明における重要な要因である。