[論文レビュー] Continuity of derivatives of a convex solution to a perturbed one-Laplace equation by $p$-Laplacian

Yoshikazu Giga, Shuntaro Tsubouchi|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2021

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、p-Laplacian正則化を用いて、摂動付き1-Laplacian方程式の凸な弱解のC¹-正則性を確立する。凸性と爆発（blow-up）法を活用することで、勾配が0となるファセット上でも連続的であることを証明し、1-Laplacian作用素の退化性を克服する。主な結果は、凸解が、勾配が消える点でさえも、領域内でC¹であるということである。

ABSTRACT

We consider a one-Laplace equation perturbed by $p$-Laplacian with $1<p<\infty$. We prove that a weak solution is continuously differentiable ($C^{1}$) if it is convex. Note that similar result fails to hold for the unperturbed one-Laplace equation. The main difficulty is to show $C^{1}$-regularity of the solution at the boundary of a facet where the gradient of the solution vanishes. For this purpose we blow-up the solution and prove that its limit is a constant function by establishing a Liouville-type result, which is proved by showing a strong maximum principle. Our argument is rather elementary since we assume that the solution is convex. A few generalization is also discussed.

研究の動機と目的

• 1-Laplacian方程式にp-Laplacian摂動を加えた場合の弱解について、C¹-正則性が未解決の問題であったのを解消すること。
• 勾配が0となるファセットの境界上でも、凸解がC¹-連続であることを確立すること。
• 元の状態ではC¹-正則性を保証しない1-Laplacian作用素の退化性を克服すること。
• De Giorgi–Nash–Moser理論に依存しない、凸解析と爆発技術に基づく初等的な議論を構築すること。
• 右辺f ∈ L^q_loc(Ω)（q > n）に対して最小限の仮定のもとで、C¹-正則性が成り立つことを一般化すること。

提案手法

• 解の凸性を用いて、C¹-正則性問題を、各点xにおける部分微分∂u(x)が単集合であることの証明に還元する。
• ファセットF（∇u = 0）内の点において爆発法を適用し、スケーリングされた解の極限を解析する。
• 極限方程式に対して強い最大原理を証明することで、極限プロファイルが定数関数でなければならないことを、Liouville型結果として確立する。
• p-Laplacian摂動を用いて、勾配空間における原点から離れた領域で一様強楕円性を保証し、非ファセット領域における局所的W^{2,2}-正則性を可能にする。
• 凸関数の一様リプシッツ連続性と、部分勾配の収束定理を用いて、爆発列における極限に移行する。
• エネルギー汎関数E(z) = bE₁(z) + Eₚ(z)の勾配の厳密単調性を用いて、爆発解析における重要な不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 勾配が0となる点でも、p-Laplacian摂動付き1-Laplacian方程式の弱解について、C¹-正則性を確立できるか？
• RQ2 ファセット付近の退化楕円型の状況下でも、解の凸性がC¹-正則性を回復させるのに十分か？
• RQ3 ファセット近傍における解の爆発極限について、Liouville型結果を証明し、それが定数関数であることを示せるか？
• RQ4 一様強楕円性を失うにもかかわらず、p-Laplacian摂動が1-Laplacian作用素をファセットで正則化するのに十分か？
• RQ5 非一様強楕円型設定においても、強い最大原理を適用して、非定数の調和的類似極限を除外できるか？

主な発見

• f ∈ L^q_loc(Ω) かつ q > n を満たす場合、摂動付き1-Laplacian方程式の凸な弱解uは、∇u = 0となる点でさえもC¹(Ω)である。
• ファセットF内の任意の点における解の爆発極限は定数関数であり、Liouville型結果によって証明される。
• 爆発極限に強い最大原理を適用することで、有界かつ非負で弱い下調和関数である関数は定数関数に限ることが示される。
• p-Laplacian摂動により、Hessian ∇²_z E(∇u)の一様楕円比が∇u = 0でない領域で有界であることが保証され、局所的W^{2,2}-正則性が可能になる。
• すべてのx ∈ Ωに対して部分微分∂u(x)は単集合であり、これはuがxでC¹であることに同値であり、凸解析と爆発法によって証明される。
• f ∈ L^q_loc(Ω)（q > n）という最小限の仮定のもとで、f や境界の滑らかさを仮定せず、解が凸であることのみを要件として、結果が成り立つ。