[論文レビュー] Continuity of Lyapunov Exponents for Random 2D Matrices

Carlos Bocker, Marcelo Viana|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 30被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、ベルヌーイ移動上のランダム2次元線形コサイクルに対して、リャプノフ指数の連続性を確立し、極値の指数が行列係数および確率重みの両方に関して連続的に変化することを証明する。著者らは不変測度、定常状態、射影空間上の幾何的推定を用いて、弱収束する測度に対してもリャプノフ指数が連続であることを示し、コンパクト台付き測度を伴うGL(2,C)コサイクルにおける滑らかなエルゴディック理論における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

The Lyapunov exponents of locally constant GL(2;C)-cocycles over Bernoulli shifts depend continuously on the cocycle and on the invariant probability. The Oseledets decomposition also depends continuously on the cocycle, in measure.

研究の動機と目的

• ベルヌーイ移動上のランダム2次元線形コサイクルに対して、極値リャプノフ指数の連続性を確立すること。
• 行列係数および確率重みに関するリャプノフ指数の正則性を調査すること。
• 測度論的観点からコサイクルに依存するオセレデーツ分解の依存関係を分析すること。
• 局所定数コサイクルおよびコンパクト台付き測度の文脈における連続性に関する未解決問題を解消すること。
• 一部の確率が0に近づく際にリャプノフ指数が連続でなくなる条件を特定すること。

提案手法

• 著者らは、射影空間上の不変u状態および定常測度を用いて、一般の連続性問題を対角型に還元する。
• 各ファイバーに2方向に支持される条件付き分布を持つ、積空間 M × P^1 上の不変確率測度の族を構成する。
• シフトの力学および行列作用を活用して、射影空間における縦方向の近傍および遠方における質量分布を用いた主要な推定を導出する。
• 測度の弱収束のもとでリャプノフ指数が連続であることを示すための鍵となる命題を用いるが、その際、近傍の測度の台が一様に近いことが条件となる。
• 2点ファイバーを伴うエルゴディック不変測度が存在しないことを背理法で示し、臨界例における指数の消失を証明する。
• エルゴディック理論、ランダム行列積、幾何的測度論を組み合わせ、GL(2,C)コサイクルの文脈で分析を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダム2次元線形コサイクルにおいて、行列成分および確率重みに関してリャプノフ指数が連続的に変化する条件は何か？
• RQ2 測度論的観点から、オセレデーツ分解がコサイクルに連続的に依存することは示せるか？
• RQ3 一部の遷移確率が0に近づく場合には、連続性はどのように変化するか？
• RQ4 コンパクト台付きGL(2,C)に対して、確率測度の弱収束のもとで連続性は保たれるか？
• RQ5 リャプノフ指数のホルダー連続性またはリプシッツ連続性が成り立つ自然な条件は何か？

主な発見

• すべての正の重みに対して、極値リャプノフ指数 λ₊ および λ₋ は行列タプル (A₁,…,Aₘ) および確率ベクトル (p₁,…,pₘ) に関して連続に依存する。
• GL(2,C) 上の任意のコンパクト台付き確率測度 ν に対して、測度 ν′ の台が suppt(ν) に一様に近い限り、弱*位相においてリャプノフ指数 λ₊(ν) および λ₋(ν) は連続である。
• オセレデーツ分解は測度論的にコサイクルに連続に依存する。これは、フィルトレーションおよびリャプノフフラッグが小さな摂動に対して連続に変化することを意味する。
• 一部の pᵢ = 0 の場合にリャプノフ指数が不連続である反例が構成され、正の重み仮定の必要性が示された。
• 特定のクラスのランダムコサイクル（水平方向と縦方向が交換可能）に対してリャプノフ指数が消失することを証明し、エルゴディック性の背理法的証明でこれを応用した。
• 結果は一般の局所定数コサイクルおよびベルヌーイ移動上に拡張され、ファイバーの束ねや積分可能性条件のもとでより広範な連続性が示唆される。