[論文レビュー] Continuity of quantum mutual information

Robert Alicki, M. Fannes|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2003

Quantum Information and Cryptography参考文献 2被引用数 47

ひとこと要約

本稿では、量子状態の均一分散に対する量子相互情報量 S(ρ₁₂|ρ₂) の連続性を確立し、第二の参加者系の系サイズに依存しないバインドを提供する。この結果により、スクァッシュド・エンタングルメントなどの量子情報測度が状態の摂動に対して安定であることが保証される。

ABSTRACT

We prove continuity of quantum mutual information S(ρ 12 |ρ 2) with respect to the uniform convergence of states and obtain a bound which is independent of the dimension of the second party. This can, e.g., be used to prove the continuity of squashed entanglement. A, generally mixed, state of a bipartite system is given by a density matrix ρ 12 on a Hilbert space H 12 = H 1 ⊗ H 2. We shall, in order to avoid technical complications, restrict our attention to finite dimensional systems and not distinguish between the density matrix ρ 12 and its associated expectation functional a ↦ → ρ 12 (a): = Tr ρ 12 a, a a linear operator on H 12. The restrictions of ρ 12 to the subsystems 1 and 2 are denoted by ρ 1 and ρ 2, e.g. ρ 1 (a): = ρ 1 (a ⊗ ) = Tr ρ 12 a ⊗ , a a linear operator on H 1. The von Neumann entropy S(ρ) of a state ρ is the quantity Tr η(ρ) with η(x): = −x log x for 0 < x ≤ 1 and η(0) = 0. The mutual information S(ρ 12 | ρ 2) of ρ 12 with respect to the second system is the quantity S(ρ 12 | ρ 2): = S(ρ 12) − S(ρ 2),

研究の動機と目的

• 量子状態の均一分散に対する量子相互情報量 S(ρ₁₂|ρ₂) の連続性を確立すること。
• 第二の部分系の次元に依存しない相互情報量の変化に関するバインドを導出すること。
• スクァッシュド・エンタングルメントなどの関連する量子情報測度の連続性を証明する基盤を提供すること。
• 安定性バインドにおける次元依存性を排除することで、量子相関の分析を簡素化すること。

提案手法

• 有限次元ヒルベルト空間において分析を行い、密度行列を期待値関数として扱う。
• 相互情報量は S(ρ₁₂|ρ₂) = S(ρ₁₂) − S(ρ₂) として定義され、S(ρ) はフォン・ノイマンエントロピーを表す。
• 状態 ρ₁₂ → σ₁₂ および ρ₂ → σ₂ の均一分散の下で、|S(ρ₁₂|ρ₂) − S(σ₁₂|σ₂)| の差をバインドすることで連続性を確立する。
• フォン・ノイマンエントロピーおよびトレースノルムの性質を用いてバインドを導出し、H₂ の次元に依存しないことを保証する。
• 有限次元系に制限し、標準的な関数解析的道具を用いることで、技術的複雑性を回避する。
• 結果をスクァッシュド・エンタングルメントの連続性の証明に応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さな状態摂動の下で、量子相互情報量はどのように変化するか？
• RQ2 状態収束の下で、相互情報量の変動について次元に依存しないバインドを導出可能か？
• RQ3 有限次元系において、状態の均一分散に関して相互情報量は連続か？
• RQ4 この連続性結果を、スクァッシュド・エンタングルメントなどの他の量子情報測度の連続性の証明に応用可能か？
• RQ5 第二の部分系の次元は、相互情報量の安定性にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 量子相互情報量 S(ρ₁₂|ρ₂) は、状態 ρ₁₂ および ρ₂ の均一分散に関して連続である。
• 第二の部分系 H₂ の次元に依存しない相互情報量の変化に関するバインドが導出された。
• バインドは状態間のトレース距離とエントロピー関数にのみ依存し、系サイズには依存しない。
• この結果により、スクァッシュド・エンタングルメントの連続性が示唆される。これは相互情報量の安定性に依存するため。
• 有限次元系において分析が成り立ち、密度行列を期待値関数として扱うことで技術的複雑性を回避する。
• トレースノルムおよびフォン・ノイマンエントロピーの性質を用いて連続性が確立され、状態摂動に対して堅牢であることが保証される。