[論文レビュー] Continuity of the radius of convergence of p-adic differential equations on Berkovich analytic spaces

Francesco Baldassarri, Lucia Di Vizio|ArXiv.org|Sep 13, 2007

advanced mathematical theories参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、Berkovich解析的空間上のp進微分方程式の収束半径の連続性を確立し、特にDwork-Robba理論と値函数多角形解析を用いて、収束半径関数が上半連続であり、最大点において連続であることを証明する。主な結果は、解析幾何における非剛性点への古典的p進微分方程式理論の拡張を実現する。

ABSTRACT

We consider a vector bundle with integrable connection (\cE, a) on an analytic domain U in the generic fiber \cX_η of a smooth formal p-adic scheme \cX, in the sense of Berkovich. We define the \emph{diameter} δ_{\cX}(ξ,U) of U at ξ\in U, the \emph{radius} ρ_{\cX}(ξ) of the point ξ\in\cX_η, the \emph{radius of convergence} of solutions of (\cE, a) at ξ, R(ξ) = R_{\cX}(ξ, U,(\cE, a)). We discuss (semi-) continuity of these functions with respect to the Berkovich topology. In particular, under we prove under certain assumptions that δ_{\cX}(ξ,U), ρ_{\cX}(ξ) and R_ξ(U,\cE, a) are upper semicontinuous functions of ξ; for Laurent domains in the affine space, δ_{\cX}(-,U) is continuous. In the classical case of an affinoid domain U of the analytic affine line, R is a continuous function.

研究の動機と目的

• Berkovich解析的空間における非剛性点におけるp進微分方程式の収束半径の挙動を調査すること。
• 非k-有理点における微分方程式の古典的Cauchy存在定理の不成立を扱うこと。
• 特に最大点の周辺において、収束半径関数の連続性を解析領域全体にわたって確立すること。
• Dwork-Robba定理を高次元Berkovich空間へ一般化し、収束半径関数の上半連続性を証明すること。
• 移行定理と値函数多角形技術を用いて、収束半径が最大点（例：Gauss点）で連続であることを示すこと。

提案手法

• p進体の整数環上の滑らかな形式的スキームの形式的モデルを用いて、局所的な収束半径を定義する。
• Dwork-Robba定理を適用して、p進微分系の解のグローバルな成長見積もりを導出する。
• 多変数解析関数の値函数多角形理論を用いて、収束挙動を分析する。
• 点における領域の直径の概念を導入し、それが最大収束半径と関係することを示す。
• 収束半径関数の上半連続性を用い、Gauss点に近づく点列に沿った極限議論により、最大点における連続性を証明する。
• 基底拡張 $X \widehat{\otimes} \mathscr{H}(\xi)$ における標準的点 $\xi'$ を用いて、局所的にCauchy型収束を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Berkovich解析的空間上の点の関数として、p進微分方程式の収束半径は連続的か？
• RQ2 特に、ドメーンの最大点（Gauss点）において、非k-有理点における収束半径はどのように振る舞うか？
• RQ3 収束半径に関するDwork-Robba定理は、高次元解析的領域へ一般化可能か？
• RQ4 多変数解析関数の値函数多角形は、p進微分方程式の収束半径を決定する上でどのような役割を果たすか？
• RQ5 Berkovich位相において、基底変換またはエタール引き戻しに関して、収束半径はどの程度不変か？

主な発見

• 収束半径 $ R(\xi, \Sigma) $ は、Berkovich解析的空間 $ X $ の点 $ \xi \in X $ の関数として上半連続である。
• Gauss点 $ \eta_X $ のような最大点において、関数 $ \xi \mapsto R(\xi, \Sigma) $ は、Dworkの移行定理により連続である。
• 一様有界領域 $ U \subset D(0,1^+) $ に対して、関数 $ R_{{\mathcal{X}}}(\xi, \Sigma) $ は $ U $ 上で連続であり、Christol-Dwork定理が拡張される。
• Gauss点における収束半径は $ R(\eta_X, \Sigma) = \min(1, \widetilde{R}(\eta_X, \Sigma)) $ を満たし、これは剰余体上での系にのみ依存する。
• Gauss点 $ \eta_X $ の有界近傍において、$ r \to 1^- $ に沿った点列 $ t_{0,r} $ における極限議論により、関数 $ \xi \mapsto R(\xi, \Sigma) $ の連続性が確立される。
• 値函数多角形理論により、収束半径の精密な制御が可能である：$ \underline{\mu} \in \mathrm{Z}(f) $ ならば、所望のノルムを持つ零点が存在し、これが連続性の証明の根拠となる。