[論文レビュー] Continuity of the Shafer-Vovk-Ville Operator

Natan T’Joens, Gert de Cooman+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2018

Risk and Portfolio Optimization参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、シャーファーとヴォークによって導入されたゲーム理論的上期待値作用素の連続性に関する性質を調査している。これは、すべての可測事象に確率測度を指定する必要がないように一般化されたコルモゴロフの測度論的確率の一般化である。主な貢献は、一様に下から有界な列の上昇収束に関して、および二面的カットの点ごとの極限に関して、この作用素が連続であることを証明するとともに、この枠組み内で一般化されたファトゥの補題を確立することにある。

ABSTRACT

Kolmogorovs axiomatic framework is the best-known approach to describing probabilities and, due to its use of the Lebesgue integral, leads to remarkably strong continuity properties. However, it relies on the specification of a probability measure on all measurable events. The game-theoretic framework proposed by Shafer and Vovk does without this restriction. They define global upper expectation operators using local betting options. We study the continuity properties of these more general operators. We prove that they are continuous with respect to upward convergence and show that this is not the case for downward convergence. We also prove a version of Fatous Lemma in this more general context. Finally, we prove their continuity with respect to point-wise limits of two-sided cuts.

研究の動機と目的

• 完全な確率測度が存在しない状況下で、シャーファー＝ヴォーク＝ヴィル上期待値作用素の連続性性質を分析すること。
• この作用素が、ギャンブルの列の上昇および下降収束に関して極限を保存するかどうかを特定すること。
• ファトゥの補題のような古典的結果をゲーム理論的枠組みへと拡張すること。
• ギャンブルの二面的カットの点ごとの極限に関して、連続性を調査すること。

提案手法

• 論文は、有界な下からの超 martingale を用いて上期待値作用素を定義し、ゲーム理論的枠組みにおけるグローバルベッティング戦略を表す。
• 上期待値を、すべてのこのような超 martingale を通じて非負の資産過程を保証するのに必要な初期資本の下界として定義する。
• 元のギャンブルを下からと上から切り詰めるために、補助的なギャンブル $ f_A $ および $ f_{A,B} $ を構築する。
• 超 martingale の単調性および収束性の性質を用いて、上期待値関数の極限挙動を導出する。
• 証明は、標本空間 $ \Omega = \mathscr{X}^{\mathbb{N}} $ におけるシリンダーセットおよび経路ごとの収束の構造に依存する。
• 上期待値と下期待値の双対性および共役表現 $ \underline{\mathrm{E}}(f) = -\overline{\mathrm{E}}(-f) $ を用いて、主要な結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シャーファー＝ヴォーク＝ヴィル上期待値作用素は、一様に下から有界なギャンブル列の上昇収束に関して連続か？
• RQ2 この作用素は下降収束に関して極限を保存するか。そうでない場合、その理由は何か？
• RQ3 ゲーム理論的枠組み内でファトゥの補題の一般化された版を確立できるか？
• RQ4 ギャンブルの二面的カットの点ごとの極限に関して、作用素は連続か？
• RQ5 $ f_A = \max\{f, A\} $ を用いたギャンブルの切り詰めにおける上期待値の挙動はいかなるものか？

主な発見

• 上期待値作用素 $ \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{V}} $ は上昇収束に関して連続である：$ f_k \uparrow f $ かつ $ f_k $ が一様に下から有界ならば、$ \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{V}}(f_k) \uparrow \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{V}}(f) $ が成り立つ。
• この作用素は下降収束に関して連続ではない。この枠組み内で反例によって示されている。
• 一般化されたファトゥの補題が成り立つ：$ f_k \downarrow f $ ならば、$ \varlimsup \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{V}}(f_k) \geq \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{V}}(f) $ が成り立つ。
• 二面的カットの点ごとの極限に関して作用素は連続である：$ \lim_{A \to -\infty} \lim_{B \to \infty} \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{V}}(f_{A,B}) = \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{V}}(f) $、ここで $ f_{A,B} = \max\{\min\{f, B\}, A\} $ である。
• 上期待値が有限な任意のギャンブル $ f $ に対して、すべての $ A \leq A^* $ に対して $ \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{V}}(f_A) < \infty $ となる切り詰め $ f_A $ が存在し、下からの切り詰めにおける安定性が保証される。
• 極限 $ \lim_{A \to -\infty} \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{V}}(f_A) = \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{V}}(f) $ が成り立つ。これは切り詰めにおける連続性を確立するために不可欠である。