[論文レビュー] Continuity of the time and isoperimetric constants in supercritical percolation

Olivier Garet, Régine Marchand+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用数 28

ひとこと要約

この論文は、$d \geq 2$ における $Δ^d$ 上の超臨界ベルヌーイ確率的透過において、時間定数および等周（チーリング）定数の連続性を確立し、両者の漸近的形状および等周定数が透過パラメータ $p$ に対して連続に変化することを証明している。本研究は、有限通過時間のモデルに限らない、可能に無限大となる通過時間を含む場合への第一通過時間透過の拡張を図り、Wulff形状およびノルム連続性を用いた幾何学的・確率的議論を用いている。

ABSTRACT

We consider two different objects on super-critical Bernoulli percolation on $\\mathbb{Z}^d$ : the time constant for i.i.d. first-passage percolation (for $d\\geq 2$) and the isoperimetric constant (for $d=2$). We prove that both objects are continuous with respect to the law of the environment. More precisely we prove that the isoperimetric constant of supercritical percolation in $\\mathbb{Z}^2$ is continuous in the percolation parameter. As a corollary we prove that normalized sets achieving the isoperimetric constant are continuous with respect to the Hausdroff metric. Concerning first-passage percolation, equivalently we consider the model of i.i.d. first-passage percolation on $\\mathbb{Z}^d$ with possibly infinite passage times: we associate with each edge $e$ of the graph a passage time $t(e)$ taking values in $[0,+\\infty]$, such that $\\mathbf{P}[t(e)<+\\infty] >p_c(d)$. We prove the continuity of the time constant with respect to the law of the passage times. This extends the continuity property previously proved by Cox and Kesten for first passage percolation with finite passage times.

研究の動機と目的

• 2次元超臨界透過における透過パラメータ $p$ に対する等周定数（チーリング定数）の連続性を確立すること。
• 通過時間が無限大である可能性がある場合において、無限クラスタ上の第一通過時間透過における時間定数の連続性を証明すること。
• 等周定数に関連する正規化されたWulff形状がハウスドルフ距離に関して $p$ に対して連続に変化することを示すこと。
• コックスとケーセンによる有限通過時間モデルの連続性結果を、通過時間が無限大である可能性がある第一通過時間透過の状況にまで拡張すること。

提案手法

• チーリング定数に関連する等周形状をWulff構成を用いて定義し、ノルムとその双対ノルムの双対性を活用する。
• コンパクト集合間のハウスドルフ距離を用いた幾何的議論により、$p$ の関数としてのWulff形状 $\widehat{W}_p$ の連続性を証明する。
• ノルム連続性の推定を用いる：$p$ と $q$ が近くにあるとき、単位円上で一様に $|\beta_p(x) - \beta_q(x)| < \varepsilon$ が成り立つ。これによりWulff形状の安定性が保証される。
• Wulff形状およびその摂動に対する $\|\cdot\|_2$ ノルムの境界が、スケーリング論法を用いてハウスドルフ距離を制御可能であることを活用する。
• 有限ボックス上での $n\varphi_n(p)$、すなわち正規化された等周定数の漸近的挙動を分析し、その極限（チーリング定数）が $p$ に関して連続であることを証明する。
• 等周集合の形状定理の存在と、正規化された集合がハウスドルフ距離においてWulff形状に収束することに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元超臨界透過における無限クラスタのチーリング定数は、透過パラメータ $p$ に関して連続か？
• RQ2 ハウスドルフ距離に関して、等周定数に関連する漸近的形状（Wulff結晶）は $p$ に関して連続に変化するか？
• RQ3 通過時間が無限大である可能性がある場合、無限クラスタ上での第一通過時間透過における時間定数は連続か？
• RQ4 コックスとケーセンによる先行研究を、有限モーメントのケースを超えて、通過時間が無限大である場合にも連続性を保証できるか？
• RQ5 パrameter $p$ の変化に伴い双対ノルム $\beta_p^*$ はどのように変化するのか？ そして、これによりWulff形状の連続性にどのような意味が生じるか？

主な発見

• チーリング定数 $\lim_{n\to\infty} n\varphi_n(p)$ は、$(p_c(2), 1]$ 上で $p$ に関して連続であり、透過パラメータに対する等周定数の連続性が確立された。
• 正規化されたWulff形状 $\widehat{W}_p$ は、ハウスドルフ距離に関して $p$ に対して連続に変化し、$\lim_{q\to p} d_H(\widehat{W}_p, \widehat{W}_q) = 0$ が成り立つ。
• 無限クラスタ上での第一通過時間透過における時間定数は、通過時間の分布に関して連続であり、通過時間が無限大である場合でも成立する。
• ノルム $\beta_p$ の連続性は、その双対ノルム $\beta_p^*$ の連続性を示し、これによりWulff形状が特徴づけられる。
• 正規化された等周集合のWulff形状への収束は、$p$ の小さな摂動に対しても安定しており、極限形状の連続性が保証される。
• 証明は、$|p - q|$ が小さいときの $\beta_p(x)$ と $\beta_q(x)$ の差の均一な制御に依存しており、これによりWulff形状の摂動に対する安定性が保証される。