[論文レビュー] Continuity of volumes on arithmetic varieties

Atsushi Moriwaki|ArXiv.org|Dec 11, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、算術多様体上の $C^{\infty}$-ヘルミート的可逆層に対する算術的体積関数の連続性を確立し、体積関数が有理数的ネロン＝セベリ群上で連続であることを証明する。主な結果は、ネフなヘルミート線束に対する算術的ヒルベルト＝サミュエル公式であり、算術的自己交差数の正定性によって大きさを特徴付ける。

ABSTRACT

We introduce the volume function for hermitian invertible sheaves on an arithmetic variety as an analogue of the geometric volume function. The main result of this paper is the continuity of the arithmetic volume function. As a consequence, we have the arithmetic Hilbert-Samuel formula for a nef hermitian invertible sheaf. We also give another several applications, for example, a generalized Hodge index theorem, an arithmetic Bogomolov-Gieseker's inequality, etc.

研究の動機と目的

• 算術多様体上の $C^{\infty}$-ヘルミート的可逆層に対する算術的体積関数を定義・研究し、幾何的体積関数の類似物とすること。
• 算術的体積関数が有理数的ネロン＝セベリ群上で連続であることを確立し、算術幾何学における根本的問題を解決すること。
• ネフなヘルミート線束に対する算術的ヒルベルト＝サミュエル公式を導出し、大きさと算術的自己交差数の正定性を結びつけること。
• 一般化されたホッジ指数定理と算術的ボゴモロフ＝ギエーゼッカー不等式を、連続性結果の応用として得ること。

提案手法

• 各セクションの $\sup$-ノルムが 1 未満であるものの対して、対数的成長の $\limsup$ を用いて算術的体積関数を定義する。
• 体積関数の斉次性を証明し、この性質を用いて体積関数を有理数的ネロン＝セベリ群に拡張する。
• コホモロジーの成長が制御された算術多様体上の線束のセクションを含む、重要な技術的評価（定理 C）を確立する。
• 算術的リーマン・ロッホに依存せずに、除法の幾何とコホモロジーの境界に基づく直接的推定を用いて連続性を証明する。
• 連続性結果を応用し、ネフ性と半正定性の条件下で算術的ヒルベルト＝サミュエル公式と一般化されたホッジ指数定理を導出する。
• 特異点の解消とアンピュルネスの仮定を用いて問題を既知の状況に還元し、コホモロジー成長の推定を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 算術多様体の有理数的ネロン＝セベリ群上で算術的体積関数は連続か？
• RQ2 ネフな $C^{\infty}$-ヘルミート線束に対して算術的ヒルベルト＝サミュエル公式は成立するか？
• RQ3 ネフ性と半正定性の条件下で、算術多様体に対して一般化されたホッジ指数定理を確立できるか？
• RQ4 算術的自己交差数の正定性が、ヘルミート線束の大きさを示すためにどのような条件下で成立するか？
• RQ5 一般化されたホッジ指数定理から算術的ボゴモロフ＝ギエーゼッカー不等式を導出できるか？

主な発見

• 算術的体積関数は $\widehat{\operatorname{Pic}}(X)\otimes\mathbb{Q}$ 上で連続であり、これはネフなヘルミート線束に対して算術的ヒルベルト＝サミュエル公式の正当性を示している。
• ネフな $C^\infty$-ヘルミート線束 $\overline{L}$ に対して、算術的ヒルベルト＝サミュエル公式が成立する： $\log\#\{s\in H^0(X,mL+N)\mid\|s\|_{\sup}\leq 1\} = \frac{\widehat{\operatorname{deg}}(\widehat{c}_1(\overline{L})^{\cdot d})}{d!}m^d + o(m^d)$ が $m\to\infty$ のとき成り立つ。
• 算術的体積は、ネフな $\overline{L}$ に対して $\widehat{\operatorname{vol}}(\overline{L}) = \widehat{\operatorname{deg}}(\widehat{c}_1(\overline{L})^{\cdot d})$ を満たし、$\overline{L}$ が大きいとは、$\widehat{\operatorname{deg}}(\widehat{c}_1(\overline{L})^{\cdot d}) > 0$ であることと同値である。
• 一般化されたホッジ指数定理が成立する： $L_\mathbb{Q}$ がネフで、$c_1(\overline{L})$ が半正定的であり、$L$ が中程度のコホモロジー成長を示すならば、$\widehat{\operatorname{vol}}(\overline{L}) \geq \widehat{\operatorname{deg}}(\widehat{c}_1(\overline{L})^{\cdot d})$ が成り立つ。
• アインシュタイン＝ヘルミート的ヘルミートベクトルバンドルに対して、算術的ボゴモロフ＝ギエーゼッカー不等式が成立する： $\widehat{\operatorname{deg}}\left(\widehat{c}_2(\overline{E}) - \frac{r-1}{2r}\widehat{c}_1(\overline{E})^2\right) \geq 0$。
• 体積関数の連続性により、ファイバー上のネフ性と第一チェーン形式の半正定性の下で、$\widehat{\operatorname{deg}}(\widehat{c}_1(\overline{L})^{\cdot d}) > 0$ ならば $\overline{L}$ が大きいと結論できる。