[論文レビュー] Continuity principle and extension properties of meromorphic mappings with values in non K\"ahler manifolds

Sergei Ivashkovich|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 1997

Meromorphic and Entire Functions被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、複素空間へのメラモーフィック写像に関して、非ケーラー的類似物としてレヴィ連続性原理を確立し、有界なサイクル幾何条件の下で、このような写像が codimension ≥2 の解析的集合へと拡張可能であることを証明する。さらに、全純閉ヘルミート計量を備えた空間における特異点除去の幾何的障害を同定し、ケーラー的でない設定にまで、ハートォグス型拡張定理を一般化する。

ABSTRACT

. In this paper we are proving an analogue of E. Levi Continuity Principle for meromorphic mappings with values in general complex spaces. We also describe the singularities of meromorphic mappings into complex spaces carrying pluriclosed Hermitian metric forms and geometrical obstructions to removing them. Contents 0. Introduction 2 0.1. Continuity principle 2 0.2. Hartogs-type extension theorem and spherical shells 5 0.3. Kahler case: Griffiths approach revisited 8 0.4. Applications, generalisations, open questions 9 1. Continuity principle. 11 1.1. Cycle space associated to a meromorphic map 11 1.2. Analyticity of C f;C 14 1.3. Proof of the Continuity principle 15 1.4. Spaces from G k have bounded cycle geometry 17 1.5. Construction of Example 1 18 2. Hartogs-type extension and spherical shells 19 2.1. Generalities on pluripotential theory 19 2.2. Metrics on complex spaces and proof of Theorem 2 in dimension two 22 2.3. Meromorphic families of analytic sets 26 2.4. Proof of Theorem...

研究の動機と目的

• 非ケーラー複素空間への値をとるメラモーフィック写像へ、レヴィ連続性原理を一般化すること。
• 非ケーラー幾何におけるメラモーフィック写像に関連するサイクル空間の構造と解析的性を調査すること。
• 全純閉ヘルミート計量を備えた複素空間へのメラモーフィック写像の特異点を特徴づけること。
• このような写像における孤立特異点の除去を妨げる幾何的障害を同定すること。
• 複素多様体における全純閉ヘルミート計量の下で、シュワーツ理論とメラモーフィックな解析的集合族を用いて、ハートォグス型拡張定理を非ケーラー設定に拡張すること。

提案手法

• メラモーフィック写像 $ f $ に関連するサイクル空間 $ C_f $ を構成し、それが周囲の複素空間において解析的であることを証明する。
• 空間 $ G_k $ から得られる有界なサイクル幾何条件を用いて、メラモーフィック写像の挙動を制御する。
• シュワーツ理論を用いて、シュワーツ函数とその拡張性への寄与を分析する。
• codimension ≥2 の解析的集合への中間的拡張をモデル化するために、メラモーフィックな解析的集合族を用いる。
• 全純閉ヘルミート計量と複素空間内の特異点の幾何の間の相互作用を分析する。
• 計量に由来する曲率と解析的容量条件を活用して、次元2における拡張定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レヴィ連続性原理は、非ケーラー複素空間への値をとるメラモーフィック写像へと拡張可能か？
• RQ2 被覆空間にどのような幾何的条件が、関連するサイクル空間の解析的性を保証するか？
• RQ3 全純閉ヘルミート計量は、メラモーフィック写像の除去可能な特異点問題にどのように影響するか？
• RQ4 非ケーラー多様体における解析的集合への中間的拡張が、どのような障害を受けるか？
• RQ5 ハートォグス型拡張定理は、ケーラーの場合を越えてどの程度一般化可能か？

主な発見

• メラモーフィック写像 $ f $ に関連するサイクル空間 $ C_f $ は、周囲の複素空間において解析的であり、解析的関数の延長技法の適用が可能になる。
• 有界なサイクル幾何条件を備えた空間へのメラモーフィック写像は、codimension ≥2 の解析的集合へと拡張可能であり、古典的ハートォグスの定理を一般化する。
• 全純閉ヘルミート計量が存在する場合、メラモーフィック写像の特異点は、曲率とシュワーツ理論に結びついた幾何的不変量によって遮断される。
• サイクル幾何が有界でない場合の拡張の失敗を示す明示的例（例1）を本論文は構成している。
• 次元2では、全純閉ヘルミート計量の存在と適切な解析的容量の境界が満たされれば、メラモーフィック写像の拡張が保証される。
• 結果は、ケーラー幾何を超えてグリフィスの手法を理解するための非ケーラー的枠組みを提供する。