[論文レビュー] Continuity Properties of Game-theoretic Upper Expectations

Natan T’Joens, Jasper De Bock+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2019

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、離散時間の不確実過程におけるゲーム理論的上期待値の連続性に関する性質を調査し、非減少列および有限関数に対するその挙動の基礎的結果を確立する。上期待値作用素が、一様に下から有界な列の各点収束に関して連続であることを証明し、ゲーム理論的確率における不確実性モデル化のための重要な技術的基盤を提供する。

ABSTRACT

We consider discrete-time uncertain processes with finite state space and study the properties of game-theoretic upper expectations developed by Shafer and Vovk. We start by proving some basic properties, e.g. monotonicity, law of iterated upper expectations,... Afterwards, we show that this operator satisfies several, more involved continuity properties, including continuity with respect to non-decreasing sequences and continuity with respect to specific sequences of so-called `finitary measurable' functions, which are functions that depend on a finite number of states.

研究の動機と目的

• 有界下方の拡大実数変数の非減少列に関して、ゲーム理論的上期待値の連続性性質を確立すること。
• 有限個の状態にのみ依存する関数（有限関数）の列に上期待値作用素を適用したときの挙動を調査すること。
• 同伴論文で用いられる直感的な公理を満たす最も保守的な不確実性モデルを特徴付けるための技術的基盤を提供すること。
• 上昇マルティンゲールとグローバルなゲーム理論的上期待値作用素との関係を形式化すること。
• 与えられた状況における上期待値が、局所的に関数を支配するすべての有限関数的で限界有界な賭けの期待値の下限に等しいことを証明すること。

提案手法

• 上期待値を、4つの公理（E1–E4）を用いて有界下方の拡大実数変数上で定義する。これには、整合性と単調性が含まれる。
• 動的不確実性をモデル化する資本過程としての上昇マルティンゲールの概念を導入する。値は有限の歴史上に定義される。
• 各状況における上昇マルティンゲール値の下限を用いて、ゲーム理論的上期待値作用素を構成し、グローバルな整合性を保証する。
• 一般の拡大実数変数の近似に、有限関数（n-可測関数）の列を用い、各点収束を保証する。
• （sup h_m）-可測な賭けの列からn-可測な賭けの列への変換を適用し、可測性と収束性を維持する。
• 状況sにおける上期待値E_V(f|s)が、Γ(s)上でfを各点で支配するすべての有界で限界有界な有限関数的賭けgについてのE_V(g|s)の下限に等しいことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲーム理論的上期待値は、有界下方の拡大実数変数の非減少列に関して連続か？
• RQ2 上期待値作用素は、有限個の状態に依存する関数（有限関数）の列に適用されたとき、極限を保存するか？
• RQ3 与えられた状況における上期待値は、すべての有限関数的で限界有界な支配賭けの期待値の下限として特徴付けられるか？
• RQ4 上昇マルティンゲールは、動的不確実性をモデル化するグローバルなゲーム理論的上期待値作用素とどのように関係するか？
• RQ5 支配列の各点収束に関して、上期待値作用素は単調かつ一貫性を保つか？

主な発見

• 上期待値作用素は、有界下方の拡大実数変数の非減少列に関して連続であり、上限極限の不等式と適切なn-可測賭けの列の構成により示された。
• 任意の状況sと拡大実数変数の空間に属する関数fに対して、上期待値E_V(f|s)は、Γ(s)上でfを各点で支配するすべての有界で限界有界な有限関数的賭けgについてのE_V(g|s)の下限に等しい。
• 証明により、Γ(s)上でfを各点で支配する任意の上昇マルティンゲールが、E_V(f|s)を上から押さえられることを示し、下限の特徴付けが得られた。
• fに各点収束するn-可測賭けの列{f_n}の構成により、その期待値の上極限がE_V(f|s)によって上から押さえられることが保証され、連続性に不可欠である。
• この結果により、ゲーム理論的上期待値が、整合性と単調性の公理を満たす最も保守的なモデルであることが確認された。これは、すべての一貫性のある上昇マルティンゲールに基づく期待値の下限として定義されるためである。
• 近似列が一様に上から有界である必要がなく、一様に下から有界であることと各点収束のみに依存するため、連続性の結果は依然として成り立つ。