[論文レビュー] Continuity properties of Moore cohomology

Tim Austin|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、局所コンパクト群の逆極限におけるモア・コホモロジーの連続性に関する性質を確立し、コンパクトな基底群およびバナッハ、離散、トーラルモジュールなどの「良い」標的モジュールに対して、コホモロジー群が良好に保たれることを証明する。ライドン＝ホイッチャー＝ツェル・スペクトル系列とグレソン＝モンゴメリー＝ジッピンの定理を用いて、これらの結果を非コンパクト群へ部分的に拡張し、ミルナー分類空間のセーチェ・コホモロジーなどの他のコホモロジー理論との同型を確認する。

ABSTRACT

In an important sequence of papers (20, 21, 22), Calvin Moore developed a version of group cohomology for locally compact groups taking into account their topologies. He was able to re-establish most of the standard algebraic properties of group cohomology in the category of Polish Abelian modules for such groups, build- ing initially on a bar resolution restricted to Borel cochai ns. However, the resulting cohomology groups can have rather unwieldy topological properties, and it remained mostly unclear under what circumstances they behave well under forming inverse limits of a sequence of base groups. This paper establishes that they are indeed con- tinuous for such inverse limits for compact base groups and for a range of 'nice' target modules, including all Banach, discrete and toral modules. Using the Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence and the Gleason-Montgomery- Zippin Theorem, we can give partial generalizations of these continuity results to non-compact locally compact groups, but also construct examples showing that their analogs sometimes fail. In addition, the known cases of continuity allow us to extend some results of Wigner (26) identifying Moore's cohomology as isomorphic to al- ternatives constructed by other means, such as the ˇ Cech cohomology of the Milnor classifying space of the base group.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト群の逆極限におけるモア・コホモロジーの連続性を調査すること。
• 逆極限をとる際、モア・コホモロジー群が位相的に良好に振る舞う条件を特定すること。
• ミルナー分類空間のセーチェ・コホモロジーなどの代替コホモロジー理論との既知の同型を、モア・コホモロジーへ拡張すること。
• スペクトル系列およびリー群に関する構造定理を用いて、コンパクト群を超えた連続性結果を一般化すること。
• 反例を用いて、非コンパクトな状況における連続性の障害を特定すること。

提案手法

• 群の拡大におけるコホモロジーを正規部分群および商群のコホモロジーと関連付けるために、ライドン＝ホイッチャー＝ツェル・スペクトル系列を用いる。
• 非コンパクトな局所コンパクト群の構造、特にリー群の構造を分析するために、グレソン＝モンゴメリー＝ジッピンの定理を適用する。
• コホモロジー構成における位相的制御を維持するために、バー解体をボレル・コチェインに制限する。
• バナッハ、離散、トーラルモジュールのカテゴリに属する標的モジュールを備えた、コンパクトな基底群の逆極限を分析する。
• 特定の非コンパクトな状況において連続性が失敗することを示す明示的な反例を構成する。
• ウィグナーの既知の結果を用いて、モア・コホモロジーとミルナー分類空間のセーチェ・コホモロジーとの同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな局所コンパクト群の逆極限に関して、モア・コホモロジーがどのような条件下で連続となるか。
• RQ2 非コンパクトな局所コンパクト群に対しても、モア・コホモロジーの連続性を拡張できるか。その場合、どのような構造的仮定が必要か。
• RQ3 適切な群およびモジュールに対して、モア・コホモロジー群がミルナー分類空間のセーチェ・コホモロジーとどの程度一致するか。
• RQ4 非コンパクトな状況では、どのような位相的障害が連続性を妨げるか。それらは体系的に特定可能か。
• RQ5 スペクトル系列およびリー群に関する構造定理は、非コンパクトな場合の連続性の証明にどのように寄与するか。

主な発見

• コンパクトな基底群およびバナッハ、離散、トーラルモジュールを備えた標的モジュールに対して、モア・コホモロジーは逆極限に関して連続である。
• ライドン＝ホイッチャー＝ツェル・スペクトル系列は、群の拡大におけるコホモロジーの分析および構造的状況での連続性の検証に重要なツールを提供する。
• グレソン＝モンゴメリー＝ジッピンの定理を用いることで、非コンパクト群への連続性の部分的拡張が可能であり、特にリー群に対して有効である。
• 反例により、非コンパクト群では一般に連続性が成立しないことが示され、固有の位相的障害が存在することが判明した。
• 本論文は、モア・コホモロジーとミルナー分類空間のセーチェ・コホモロジーとの同型を確認し、ウィグナーの結果を拡張した。
• バー解体内のボレル・コチェインへの制限により、コホモロジー構成における位相的制御が維持された。