[論文レビュー] Continuous and Twisted L_infinity Morphisms

Amnon Yekutieli|ArXiv.org|Feb 7, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、dir-inv 加群の圏におけるDG Lie代数間の連続的およびねじれた$L_\infty$準同型の理論を展開し、Kontsevichの形式的定理を一般化する。与えられたMaurer-Cartan解$\omega$が完備テンソル積代数に属するとき、誘導される$L_\infty$準同型は、ねじれたDG Lie代数間の擬同型に持ち上げられ、変形のもとでも形式的性が保たれることを確立する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to develop a suitable notion of continuous L_infinity morphism between DG Lie algebras, and to study twists of such morphisms.

研究の動機と目的

• DG Lie代数間の連続的$L_\infty$準同型をdir-inv 加群の圏で定義し、研究すること。
• Kontsevichの形式的擬同型を、完全な超可換DG代数$A$に係数をとる代数へ拡張すること。
• Maurer-Cartan要素による$L_\infty$準同型のねじりを定義し、分析すること。
• 与えられた条件下で、ねじった準同型が擬同型のままであることを確立すること。
• 形式幾何学とホモロジー代数を用いた代数的多様体の変形量子化のための枠組みを提供すること。

提案手法

• 連続的準同型を備えた$\mathsf{Dir}\mathsf{Inv}\mathsf{Mod}\mathbb{K}$というdir-inv 加群の圏を導入する。
• $\mathbb{K}[[\boldsymbol{t}]]$-加群における$\boldsymbol{t}$-adic dir-inv 構造を用いて、完備性と連続性を定義する。
• Kontsevichの形式的準同型$\mathcal{U}$の連続的$A$-多重線形拡張$\mathcal{U}_A$を構成する。
• Maurer-Cartan要素$\omega$によるねじり構成を適用し、新たな$L_\infty$準同型$\mathcal{U}_{A,\omega}$を定義する。
• ねじった準同型のテイラー係数を$ (\partial^j \mathcal{U}_{A,\omega})(\alpha) = \sum_{k \geq 0} \frac{1}{(j+k)!} (\partial^{j+k} \mathcal{U}_A)(\omega^k \wedge \alpha) $として導出する。
• もし$\omega$がMaurer-Cartan方程式を満たすならば、$\omega' := (\partial^1 \mathcal{U}_A)(\omega)$も、対象代数において同様に満たすことが示され、ねじった準同型は擬同型である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完備テンソル積設定下で、DG Lie代数間の連続的$L_\infty$準同型をどのように定義できるか。
• RQ2 Maurer-Cartan要素による$L_\infty$準同型のねじりが、常に擬同型のままであるための条件は何か。
• RQ3 Kontsevichの形式的準同型は、完全な超可換DG代数$A$に係数をとる代数へ拡張可能か。
• RQ4 形式的べき級数の文脈において、$A$-多重線形構造と$\boldsymbol{t}$-adic位相の間の相互作用はどのように働くか。
• RQ5 ねじった$L_\infty$準同型のテイラー係数の明確な式は何か。

主な発見

• Kontsevichの形式的準同型の連続的$A$-多重線形拡張$\mathcal{U}_A$は、$A \widehat{\otimes} \mathcal{T}_{\mathrm{poly}}(\mathbb{K}[[\boldsymbol{t}]])$上で存在し、適切に定義されている。
• $\omega \in A^1 \widehat{\otimes} \mathcal{T}^0_{\mathrm{poly}}(\mathbb{K}[[\boldsymbol{t}]])$がMaurer-Cartan方程式を満たすならば、$\omega' := (\partial^1 \mathcal{U}_A)(\omega)$も、対象代数において同様に満たす。
• ねじった準同型$\mathcal{U}_{A,\omega}$は、ねじったDG Lie代数間の連続的$A$-多重線形$L_\infty$擬同型である。
• 準同型$\mathcal{U}_{A,\omega}$のテイラー係数は明示的に$ (\partial^j \mathcal{U}_{A,\omega})(\alpha) = \sum_{k \geq 0} \frac{1}{(j+k)!} (\partial^{j+k} \mathcal{U}_A)(\omega^k \wedge \alpha) $として与えられる。
• 線形部$\partial^1 \mathcal{U}_A$は擬同型であるため、ねじった準同型は擬同型型を保つ。
• この構成は、体の拡大$\mathbb{R} \subset \mathbb{K}$に沿った基底変換と整合する。これにより、Kontsevichの結果が$\mathbb{R}$を含む任意の体へ一般化される。