[論文レビュー] Continuous approximation of $M_t/M_t/1$ distributions with application to production

Dieter Armbruster, Simone Göttlich+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2018

Advanced Queuing Theory Analysis被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、半直線上のスモラウッチ方程式を用いて、時変の $M_t/M_t/1$ キューイングシステムにおけるキュー長分布の時間依存的分布を連続的ドリフト拡散近似で提示する。離散的キュー長確率を連続的確率密度としてモデル化することで、一時的挙動の近似において高い精度を達成し、$L^1$ モード誤差が最大95％まで低減された数値比較において、既存の近似手法を上回る性能を示す。

ABSTRACT

A single queueing system with time-dependent exponentially distributed arrival processes and exponential machine processes (Kendall notation $M_t/M_t/1$) is analyzed. Modeling the time evolution for the discrete queue-length distribution by a continuous drift-diffusion process a Smoluchowski equation on the half space is derived approximating the forward Kolmogorov equations. The approximate model is analyzed and validated, showing excellent agreement for the probabilities of all queue lengths and for all queuing utilizations, including ones that are very small and some that are significantly larger than one. Having an excellent approximation for the probability of an empty queue generates an approximation of the expected outflow of the queueing system. Comparisons to several well-established approximation from the literature show significant improvements in several numerical examples.

研究の動機と目的

• 時間非定常な $M_t/M_t/1$ キューにおける一時的キュー長分布の連続的近似を構築すること。これは、標準的なODE系では解きにくい。
• 時間依存する到着率およびサービス率を組み込みつつ、既存の拡散および流体近似を改善し、多様な利用度レベルでも精度を維持すること。
• 離散的ODE系をPDEモデルに置き換えることで、期待アウトフローの効率的計算を可能とし、生産計画における最適制御を支援すること。
• 正確なODE解および広く知られた近似手法との比較を通じて、極端な流入および周期的流入条件下でも頑健であることを検証すること。

提案手法

• 時間非定常 $M_t/M_t/1$ キューの前向きコルモゴロフ方程式から連続的ドリフト拡散過程を導出し、$[0, \infty)$ 上の線形ポテンシャルを持つスモラウッチ型PDEを導出する。
• Fokker-Planck形式を用いて確率密度 $\rho(x,t)$ の時間発展をモデル化し、$k \in \mathbb{N}_0$ の離散的 $p_k(t)$ を近似する。
• 完全な一時的状態を解くためのPDEの数値離散化スキームを実装し、1000モードの切り捨てられたODE系と比較する。
• 定常率の場合の解析的解をスモラウッチの既知の結果を用いて導出し、モデルのダイナミクスの妥当性を検証する。
• 重交通極限と関連づけ、$\varrho < 1$ の場合に古典的近似よりも高い分散を捉えられることを示し、PDEモデルの有効性を裏付ける。
• PDE解から期待アウトフローを計算し、ODEベースの真のアウトフローおよび文献に登場する近似手法（GVA、GSA）と直接比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間非定常な $M_t/M_t/1$ キューの時間依存的キュー長分布を、連続的PDEモデルが正確に近似できるか？
• RQ2 提案されたスモラウッチPDE近似は、GVA や GSA といった既存の近似手法と比較して、多様な流入パターンにおいてどの程度高い精度を示すか？
• RQ3 時間変動するレート下でも、アイドル確率や期待アウトフローといった重要な統計的性質を、連続的モデルが保持できるか？
• RQ4 極端な利用度領域および周期的流入シナリオにおいて、PDE近似はどの程度の精度を維持できるか？

主な発見

• 連続的PDE近似はODE解と非常に良好な一致を示し、周期的流入下での期待アウトフローについて $L^1$ 誤差が $0.2622$ にまで低下する一方で、GVAは $10.5651$、GSAは $4.8328$ にとどまる。
• すべての数値例において、GVA や GSA よりも著しく優れた性能を示し、GSA が最も近いが、依然として本手法に劣る精度である。
• 定常率のケースでは、PDEの解析的解がスモラウッチの既知の結果と一致し、一時的状態におけるモデルの正しさを検証した。
• 古典的近似が失敗する非常に低いまたは高い利用度の状況でも、キュー長およびアウトフローの正しい動的挙動を近似している。
• PDEモデルにより、期待アウトフローの効率的計算が可能となり、変分法を用いた将来的な最適制御定式化を支援する。
• $\varrho < 1$ の場合、古典的重交通近似よりも高い分散を捉えており、これは真のシステム挙動をよりよく反映しており、精度の向上に寄与している。