[論文レビュー] Continuous counterparts of Poisson and binomial distributions and their properties

Andrii Ilienko|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2013

Advanced Mathematical Identities参考文献 11被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、不完全および完全なオイラー・ガンマ関数およびベータ関数を用いた積分表現を用いて、ポアソン分布および二項分布の連続的対応物を導入する。本稿は、古典的な $Np \to \lambda$ 条件の下で、連続的二項分布が連続的ポアソン分布に弱収束することを確立し、また、固定レベルを超える $\Gamma$-プロセスの最初の通過時刻と連続的ポアソン分布を結びつける。

ABSTRACT

On the basis of integral representations of Poisson and binomial distribution functions via complete and incomplete Euler Γ- and B-functions, we introduce and discuss continuous counterparts of the Poisson and binomial distributions. The former turns out to be closely related to classical Volterra functions as well. Under usual conditions, we also prove that the sequence of continuous binomial distributions converges weakly to the continuous Poisson one. At the end, we discuss a relationship between the continuous Poisson distribution and the Γ-process.

研究の動機と目的

• 応用文献に見られる「連続的ポアソン」および「連続的二項」分布の定義における曖昧さと一貫性の欠如を解消すること。
• 離散的ポアソンおよび二項分布の数学的に厳密で確率論的に整合性のある連続的対応物を確立すること。
• 古典的な $Np \to \lambda$ 条件の下で、連続的二項分布が連続的ポアソン分布に弱収束することを示すこと。
• 連続的ポアソン分布と固定レベルを超える $\Gamma$-プロセスの最初の通過時刻との関係を明確にすること。

提案手法

• 上側不完全ガンマ関数を用いて、$x > 0$ に対して $\tilde{F}_{\lambda}(x) = \Gamma(x, \lambda)/\Gamma(x)$ と定義することで、連続的ポアソン分布を定義する。
• 不完全ベータ関数を用いて、$\tilde{F}_{N,p}(x) = \mathrm{B}(x, N+1-x, p)/\mathrm{B}(x, N+1-x)$ と定義することで、連続的二項分布を定義する。
• 正規化条件が成り立つことを示すことにより、両分布が適切に定義されていることを証明する：$x \to \infty$ のとき $\tilde{F}_{\lambda}(x) \to 1$ であり、$x \to N+1^+$ のとき $\tilde{F}_{N,p}(x) \to 1$ である。
• 区間 $[x, x+1)$ を用いた収束を決定するクラスの議論を用いて、連続的二項分布が連続的ポアソン分布に弱収束することを証明する。
• $\Gamma$-プロセスの最初の通過時刻 $\tau_c$ が、$\alpha$ でスケーリングされたとき、パrameter $\beta c$ を持つ連続的ポアソン分布に従うことを示すことにより、連続的ポアソン分布と $\Gamma$-プロセスとの間にリンクを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数学的に整合的かつ確率論的に意味のあるポアソン分布の連続的類似とは何か？
• RQ2 離散版と構造的類似性を保つ連続的二項分布の定義はどのように行えるか？
• RQ3 古典的な $Np \to \lambda$ 条件の下で、連続的二項分布の列が連続的ポアソン分布に弱収束するか？
• RQ4 連続的ポアソン分布と固定レベルを超える $\Gamma$-プロセスの最初の通過時刻との関係は何か？

主な発見

• 連続的ポアソン分布は、$x > 0$ に対して $\tilde{F}_{\lambda}(x) = \Gamma(x, \lambda)/\Gamma(x)$ と定義され、適切に定義され、正規化されている。
• 連続的二項分布は、$0 < x \leq N+1$ に対して $\tilde{F}_{N,p}(x) = \mathrm{B}(x, N+1-x, p)/\mathrm{B}(x, N+1-x)$ と定義され、これも適切に定義され、正規化されている。
• $Np \to \lambda$ の条件下で、連続的二項分布の列 $\tilde{\beta}_{N,p}$ は連続的ポアソン分布 $\tilde{\pi}_{\lambda}$ に弱収束する。
• $\Gamma$-プロセス（パrameter $\alpha, \beta$）がレベル $c$ を超える最初の通過時刻 $\tau_c$ に対して、$\alpha \tau_c \sim \tilde{\pi}_{\beta c}$ が成り立つ。これにより、連続的ポアソン分布と $\Gamma$-プロセスとの間に直接的なリンクが確立される。
• 連続的ポアソン分布は、$\Gamma$-プロセスが固定しきい値を超える時刻として自然に生じる。これにより、連続時間確率過程におけるその役割が裏付けられる。
• 提案された連続的類似は、クヌース、マラガリア、スターンの知見と整合しており、シミュレーションおよび確率的モデリングにおけるその使用のための形式的基盤を提供する。