[論文レビュー] Continuous dependence estimates and homogenization of quasi-monotone systems of fully nonlinear second order parabolic equations

Fabio Camilli, Claudio Marchi|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 35被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、完全非線形2階放物型方程式の準単調系について、連続的依存性評価を確立し、スカラー方程式の結果を弱く結合された系へと拡張する。粘性解の技法と準単調性を用いて、 Hölder 正則性と可視性の消失近似の収束速度を導出し、有効作用素を伴う周期的均質化を証明し、摂動されたテスト関数と最大原理の議論によりスカラー結果を系へ一般化する。

ABSTRACT

Aim of this paper is to extend the continuous dependence estimates proved in \\cite{JK1} to quasi-monotone systems of fully nonlinear second-order parabolic equations. As by-product of these estimates, we get an H\\"older estimate for bounded solutions of systems and a rate of convergence estimate for the vanishing viscosity approximation. In the second part of the paper we employ similar techniques to study the periodic homogenization of quasi-monotone systems of fully nonlinear second-order uniformly parabolic equations. Finally, some examples are discussed.

研究の動機と目的

• スカラー完全非線形放物型方程式に対する連続的依存性評価を、このような方程式の準単調系へと拡張すること。
• 弱く結合された系における可視性の消失近似の Hölder 正則性と収束速度を導出すること。
• 摂動されたテスト関数とエルゴード的技法を用いて、一様放物的準単調系の周期的均質化を確立すること。
• 結果の適用可能性を確立し、確率的拡散ゲームやハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン・イサアックス方程式から生じる系に適用可能であることを示すこと。
• 準単調性と粘性解理論を活用して、スカラーの均質化結果を系へ一般化すること。

提案手法

• 準単調性の下で連続的依存性評価を導くために、変数の二重化技術にペナルティ項を組み合わせる。
• 下半連続な粘性解に対する最大原理を適用し、異なる係数を持つ解の差を制御する。
• 均質化の枠組みにおいて摂動されたテスト関数を用い、エヴァンズの手法を弱く結合された系に適応する。
• 粘性下および上ジェットの微積分を用い、特に [15] からの上ジェット包含性を含む、滑らかでない解を扱う。
• レムマ A.2 を用いた正則化手続きにより、解を滑らかな関数で近似しつつ、推定値を保存する。
• 最適制御におけるハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン・イサアックス方程式の構造を応用し、推定値を簡略化し、明示的な収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラー完全非線形放物型方程式において知られている連続的依存性評価を、弱く結合された準単調系へと拡張することは可能か？
• RQ2 このような系において、連続的依存性評価から得られる正則性特性（例：Hölder連続性）は何か？
• RQ3 完全非線形放物型方程式の準単調系における可視性の消失近似の収束速度は、どのように評価できるか？
• RQ4 粘性法と摂動されたテスト関数技法を用いて、一様放物的準単調系の周期的均質化を達成できるか？
• RQ5 ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン・イサアックス方程式の構造は、この文脈における解析をどのように簡略化し、収束推定値をどのように改善するか？

主な発見

• 本稿は、準単調系の完全非線形放物型方程式に対する連続的依存性評価を確立し、粘性解の技法を用いてスカラーの場合へ拡張する。
• 連続的依存性結果の帰結として、有界解に対する明示的な Hölder 評価が得られる。
• 可視性の消失近似の収束速度の推定値が得られ、[5] のスカラー方程式に対する既存の結果を改善する。
• 一様放物的準単調系に対して周期的均質化が証明され、均質化された極限系への収束が示される。
• 有効ハミルトニアンはエルゴード問題によって特徴付けられ、摂動されたテスト関数と粘性解理論を用いて収束が示される。
• 確率的拡散ゲームから生じる系では、係数の特定の構造のおかげで推定値が簡略化され、より鋭い収束速度が得られる。