[論文レビュー] Continuous Dependence of Cauchy Problem For Nonlinear Schrödinger Equation in $H^{s}$

Wei Dai, Weihua Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2010

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$H^s(\r^N)$における非線形シュレーディンガー方程式の解の連続的依存性を、$s > \text{max}\{1, N/2\}$ において、$H^s$-下位臨界および臨界非線形項 $c(\bar{\alpha},s)$ の下で確立する。Strichartz推定、不動点議論、および精錬されたソボレフおよびホルダー不等式を用いて、非線形項が $C^{[s]+2}$ である場合には $H^s$ における局所リプシッツ連続性の解の流れを証明し、それ以外の場合は連続的依存性を示す。これにより、解の流れにおける $\bar{\varepsilon} = 0$ の正則性に関する長年の未解決問題が解決される。

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem for the nonlinear Schrödinger equation $i \partial_{t}u+ Δu=λ_{0}u+λ_{1}|u|^αu$ in $\mathbb{R}^{N}$, where $λ_{0},λ_{1}\in\mathbb{C}$, in $H^s$ subcritical and critical case: $0

研究の動機と目的

• 非線形シュレーディンガー方程式の解の流れが $H^s$ で連続であるかどうか、特に $H^s$-ノルムそのものにおける $\bar{\varepsilon} = 0$ の正則性という未解決問題を解消すること。
• $1 < s < N/2$ または $s \geq N/2$ の場合に、$H^s$ における連続的依存性を保証する非線形項 $g_1(u) = \lambda_1 |u|^{\alpha}u$ の鋭い条件を確立すること。
• 既知の $H^{s-\varepsilon}$ における連続的依存性の結果を、Strichartz空間およびソボレフ空間における推定値の精錬によって、完全な $H^s$-連続性にまで拡張すること。
• クラス $\nc(\alpha, s)$ に属する非線形項の下で、初期値問題に対する $H^s$ における連続的依存性の完全な証明を提供すること、臨界ケース $\alpha = 4/(N-2s)$ を含む。
• 局所リプシッツ連続性を達成するための高階正則性（$C^{[s]+2}$）が、$H^s$ における初期データに対する解写像の依存性に果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 非線形シュレーディンガー方程式 $i\partial_t u + \Delta u = \lambda_0 u + \lambda_1 |u|^\alpha u$ の初期値問題を $\rr^N$ 上で定式化し、初期データを $H^s(\rr^N)$ にとる。ここで $s > \text{max}\{1, N/2\}$ とする。
• ダゥハメルの公式を用いて偏微分方程式を積分方程式に変換する：$u(t) = e^{it\Delta}\phi - i\int_0^t e^{i(t-\tau)\Delta} g(u(\tau)) d\tau$。
• 適切なペア $(q,r)$ に対して、空間 $L^q((-T,T), B^{s}_{r,2}(\rr^N))$ における Strichartz 推定値を用いて、解のノルムを制御する。
• 微分の高階数までを含む $[s]+1$ 階までの導関数の振る舞いに依存する、クラス $\nc(\alpha, s)$ に基づいた、精錬されたソボレフおよびホルダー不等式を用いて、差 $\|g_1(u_n) - g_1(u)\|_{L^1(I, H^s)}$ の推定を行う。
• シュアウダー型推定値と補間を用いて、$g_1(u_n) - g_1(u)$ の高階導関数の差の $L^2$-ノルムを制御し、特に $\|\Delta_y \partial_x^{[s]}(g_1(u_n) - g_1(u))\|_{L^2}$ を制御する。
• $L^\infty((-T,T), H^s)$ の球上で不動点議論を適用し、$\|\varphi_n - \varphi\|_{H^s}$ に依存する推定値を用いて、$n \to \infty$ のとき $\|u_n - u\|_{L^\infty(I, H^s)} \to 0$ となることを示す。ここで $T$ は十分小さい。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形シュレーディンガー方程式の解の流れが $H^s(\rr^N)$ で連続であるかどうか、特に $H^s$-ノルムそのものにおける収束（$H^{s-\varepsilon}$ ではなく）が可能かどうか。
• RQ2 非線形項 $g_1(u) = \lambda_1 |u|^\alpha u$ にどのような正則性条件を課すと、$H^s$ における連続的依存性が保証されるか。
• RQ3 非線形項が $C^{[s]+2}$ である場合、解写像は $H^s$ で局所リプシッツ連続的であるか。また、$H^{s-\varepsilon}$-連続性の場合と比べて、その性質はどのように異なるか。
• RQ4 クラス $\nc(\alpha, s)$ における推定値 $\|g_1(u_n) - g_1(u)\|_{L^1(I, H^s)}$ は、$g_1$ が $C^{[s]+2}$ でない場合でもどのように振る舞うか。
• RQ5 局所結果を繰り返し適用することで、コンパクト時間区間全体にわたる $L^\infty((-T,T), H^s)$ における解の収束を一様に確立できるか。

主な発見

• 解の流れは $H^s(\rr^N)$ で連続的である。$L^\infty((-T,T), H^s)$ における収束が成立し、標準的な連続的依存性結果における $\varepsilon = 0$ の未解決問題が解決される。
• 非線形項 $g_1$ が $C^{[s]+2}(\mathbb{C}, \mathbb{C})$ に属する場合、解写像は $H^s(\rr^N)$ から $L^\infty((-T,T), H^s(\rr^N))$ への局所リプシッツ連続的である。
• 一般の $g_1$ がクラス $\nc(\alpha, s)$ に属する場合、$C^{[s]+2}$ 正則性がなくても、定義1.1の導関数の有界性条件を満たしていれば、$H^s$ における解の流れの連続的依存性が保証される。
• 重要な推定値 $\|g_1(u_n) - g_1(u)\|_{L^1(I, H^s)} \leq \varepsilon_n + CT\|u_n - u\|_{L^\infty(I, H^s)}$ が、$\varepsilon_n \to 0$ となるように成り立ち、十分小さい $T$ を選べば収束が保証される。
• 差 $\Delta_y \partial_x^{[s]}(g_1(u_n) - g_1(u))$ を6つの項（$H_1$ から $H_6$）に細かく分解し、それぞれをホルダーの不等式、ソボレフ埋め込み、およびクラス $\nc(\alpha, s)$ 条件を用いて推定する。
• 結果は、$(-T_{\min}, T_{\max})$ の任意のコンパクト部分区間へと繰り返し適用可能であり、$H^s$ における解の流れのグローバル連続的依存性が確認される。