[論文レビュー] Continuous Families of Rational Surface Automorphisms with Positive Entropy

Eric Bedford, Kyounghee Kim|ArXiv.org|Apr 13, 2008

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$ \mathbb{P}^2 $ の繰り返しの blown-up 上での有理写像として、$ f(x,y) = \left(y, -x + cy + \sum_{\ell \text{ even}} \frac{a_\ell}{y^\ell} + \frac{1}{y^k} \right) $ の形をした双有理写像を定義することにより、正のエントロピーをもつ有理被覆自己同型の連続的族を構成する。パラメータ $ c \in C_n $ および $ a_\ell \in \mathbb{C} $ により、$ \mathbb{P}^2 $ の繰り返しの blown-up 上で自己同型が得られる。主な結果として、このような写像が任意の高次元の族として存在することを示しており、正のエントロピーをもつ有理被覆自己同型は、以前に予想されたよりもはるかに豊富に存在することが明らかになった。

ABSTRACT

We construct k-parameter families of rational surface automorphisms for any k. These are automorphisms of surfaces X, which are constructed from iterated blowups over the projective plane. In certain cases: we are able to determine the exact automorphism group of X, as well as when two of the surfaces X are inequivalent.

研究の動機と目的

• 正のエントロピーをもつ有理被覆自己同型が、以前に予想されたよりもはるかに豊富に存在することを示すこと。特に、トーラスおよびK3被覆の場合と比較して。
• 複素係数 $ a_\ell $ および実数パラメータ $ c \in C_n $ でパrameter化された、このような自己同型の明示的族を構成し、すべてのパラメータに非自明な依存関係があることを示すこと。
• これらの写像が繰り返しの blown-up によって得られる有理被覆上の自己同型として生じることを証明し、その力学的および代数的性質を分析すること。

提案手法

• $ y $ の偶数次の負のべきを含む有理関数を用いて、$ \mathbb{P}^2 $ 上の双有理写像 $ f $ を定義し、双有理性および blown-up 上での自己同型への持ち上げを保証する。
• $ f $ の不確定性を解消するため、特に $ [0:1:0] $ および $ [0:0:1] $ の点の周りで繰り返し blown-up を行い、表面 $ \mathcal{X}_f $ を構成する。
• 吹き上げ写像 $ \pi $ を含む可換図式を用いて、$ f $ が $ \mathcal{X}_f $ 上の自己同型 $ f_{\mathcal{X}} $ に持ち上がるこを証明する。$ \pi \circ f_{\mathcal{X}} = f \circ \pi $ が成り立つことを保証する。
• Picard群上に誘導される写像 $ f_* $ のスペクトル半径を用いてエントロピーを $ \log \lambda_{n,k} $ として計算する。ここで $ \lambda_{n,k} $ は $ \chi_{n,k}(x) = 1 - k\sum_{\ell=1}^{n-1} x^\ell + x^n $ の最大根である。
• $ f $ が無限遠直線 $ \Sigma_0 $ および blown-up ファイバー上での作用を分析し、$ f^{2n} $ がこれらの点で恒等写像に接することを示し、それにより放物型挙動を確認する。
• 自己同型群 $ \operatorname{Aut}(\mathcal{X}_f) $ がクリーモナ等長群において有限対1であることを確立し、$ n=2 $ の場合、有効なクリーモナ等長群は完全な無限ダイヒドラル群をなす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正のエントロピーをもつ有理被覆自己同型は、任意の高次元の連続的族として構成可能か？
• RQ2 パラメータ $ c $ および $ a_\ell $ が、繰り返し blown-up を通じて双有理写像 $ f $ が有理被覆上で自己同型に持ち上がるための条件は何か？
• RQ3 このような写像のエントロピーは、Picard群上に誘導される写像のスペクトル的性質とどのように関係するか？
• RQ4 自己同型群 $ \operatorname{Aut}(\mathcal{X}_f) $ の構造は何か？また、クリーモナ等長群内で最大であるのはいつか？
• RQ5 パラメータ値 $ a \in \mathbb{C}^{k/2 - 1} $ が異なる場合、表面 $ \mathcal{X}_a $ は一般にbiholomorphically同値でないか？

主な発見

• 各 $ n \geq 2 $、$ k \geq 4 $ が偶数、および $ c \in C_n $ に対して、(0.1) に示される写像 $ f $ は、正のエントロピー $ \log \lambda_{n,k} $ をもつ自己同型であり、ここで $ \lambda_{n,k} $ は $ \chi_{n,k}(x) = 1 - k\sum_{\ell=1}^{n-1} x^\ell + x^n $ の最大根である。
• 写像 (0.1) の族はすべてのパラメータ $ a_\ell $ に非自明に依存しており、$ n=2 $ の場合、集合 $ C_2 $ はすべての $ 2\cos(j\pi/2) $ からなり、$ (j,2)=1 $ である、つまり $ c = 0 $ である。
• $ n=2 $ の場合、有効なクリーモナ等長群 $ \mathcal{C}_{ef}(\mathcal{X}) $ は、完全なクリーモナ等長群 $ \mathcal{C}(\mathcal{X}) $ と一致し、$ f_* $ および $ \rho_* $ によって生成される無限ダイヒドラル群をなす。ここで $ \rho(x,y) = (y,x) $ である。
• $ n=2 $ の場合、表面 $ \mathcal{X}_a $ は一般にbiholomorphically同値でない。$ a, \hat{a} \in U \subset \mathbb{C}^{k/2 - 1} $、$ a \neq \hat{a} $、および $ a_{k-1} \neq 0 $ ならば、$ \mathcal{X}_a \not\cong \mathcal{X}_{\hat{a}} $ である。
• $ f^{2n} $ は、不変曲線 $ \Sigma_0 $ のすべての点および大多数の blown-up ファイバー $ \mathcal{F}_s^j $ で恒等写像に接しており、これら点での放物型挙動が確認された。