[論文レビュー] Continuous functions in the plane regular after one blowing-up

Goulwen Fichou, Ronan Quarez+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2014

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、1点の吹き上げ操作によって正則関数に変わる実平面上の連続的有理関数を調査し、[1]-正則関数のクラスを導入する。この環において分母なしのポジティヴィステルンサッツを確立し、根基の主理想性を証明し、このような関数の正性の集合が半代数的集合をなすことを示す。これにより、より良好な正則性性質を有する関数クラスに、実代数幾何の道具を拡張する。

ABSTRACT

We study rational functions admitting a continuous extension to the real affine space. First of all, we focus on the regularity of such functions exhibiting some nice properties of their partial derivatives. Afterwards, since these functions correspond to rational functions which become regular after some blowings-up, we work on the plane where it suffices to blow-up points and then we can count the number of stages of blowings-up necessary. In the latest parts of the paper, we investigate the ring of rational continuous functions on the plane regular after one stage of blowings-up. In particular, we prove a Positivstellensatz without denominator in this ring.

研究の動機と目的

• R²上の連続的有理関数で、1点の吹き上げ操作によって正則関数に変わる関数を特徴付ける。
• このような関数の正則性および偏導関数の挙動、特にC^k性を分析する。
• [1]-正則関数の環に実代数的構造を確立する。特に分母なしのポジティヴィステルンサッツを含む。
• [1]-正則関数の環が根基の主理想性を満たし、アーツィン＝ラング性質を満たすことを証明する。
• このような関数の正性の集合のブール結合が半代数的集合であることを示す。

提案手法

• 1点の吹き上げ操作後に正則関数となる有理関数として[1]-正則関数のクラスを導入する。
• 分母の正定値性による局所的特徴づけを用いて、1階偏導関数の有界性を証明する。
• 分母の零点集合を用いた帰納法により、分母を含まない平方和の恒等式を構成する。
• 新しい代数的技法を用いてロジャシエフィッチ性質を置き換えることで、実零点定理を証明する。
• タルスキ＝ゼイデンバーグの定理を用いて、[1]-正則関数の正性の集合が半代数的であることを示す。
• 分母を制御可能な形で持つ明示的な平方和恒等式を構成し、主要なポジティヴィステルンサッツを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R²上の有理関数が1点の吹き上げ操作によって正則関数に変わるための条件は何ですか？
• RQ2 このような関数のC^k正則性は、その多項式展開および偏導関数を用いてどのように特徴づけられますか？
• RQ3 [1]-正則関数の環に対して、分母なしのポジティヴィステルンサッツを確立できますか？
• RQ4 [1]-正則関数の文脈において、実スペクトルと半代数的幾何の関係はどのようなものですか？
• RQ5 [1]-正則関数の正性の集合のブール結合は、常に半代数的集合のままでしょうか？

主な発見

• [1]-正則関数の環は、分母なしのポジティヴィステルンサッツを満たす。つまり、非負の関数は、環の元の平方和として表される。
• [1]-正則関数の1階偏導関数は局所的に有界であり、これは分母の正定値性の結果である。
• [1]-正則関数の環は根基の主理想である。これは、元のロジャシエフィッチ性質が成立しないにもかかわらず、弱い形のロジャシエフィッチ性質の一種である。
• [1]-正則関数の正性の集合の任意のブール結合は、R²の半代数的部分集合である。これは、タルスキ＝ゼイデンバーグの量化子除去と整合的であることを示唆する。
• [1]-正則関数の環の実スペクトルはアーツィン＝ラング性質を満たし、代数的構造と半代数的幾何の間の関係を結ぶ。
• 関数 f = x³/(x² + y⁴) は正則化されるために2段階の吹き上げが必要であり、1段階と多段階正則性の違いを示している。