[論文レビュー] Continuous invertibility and stable QML estimation of the EGARCH(1,1) model

Olivier Wintenberger|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2012

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 43被引用数 75

ひとこと要約

本稿は、ボラティリティモデルにおける確率的再帰方程式（SRE）の安定性条件として連続的可逆性を導入し、EGARCH(1,1)モデルにおける準最大尤度推定量（QMLE）の強一貫性を、明示的ではあるが観測不能な条件下で証明する。また、最適化を経験的連続的可逆領域に制限することで、強一貫性と漸近正規性を保証する安定QMLE（SQMLE）手法を提案する。

ABSTRACT

We introduce the notion of continuous invertibility on a compact set for volatility models driven by a Stochastic Recurrence Equation (SRE). We prove the strong consistency of the Quasi Maximum Likelihood Estimator (QMLE) when the optimization procedure is done on a continuously invertible domain. This approach gives for the first time the strong consistency of the QMLE used by Nelson in \\cite{nelson:1991} for the EGARCH(1,1) model under explicit but non observable conditions. In practice, we propose to stabilize the QMLE by constraining the optimization procedure to an empirical continuously invertible domain. The new method, called Stable QMLE (SQMLE), is strongly consistent when the observations follow an invertible EGARCH(1,1) model. We also give the asymptotic normality of the SQMLE under additional minimal assumptions.

研究の動機と目的

• EGARCH(1,1)モデルにおけるQMLEの強一貫性を、従来未証明の観測不能な条件下で確立すること。
• 確率的再帰方程式（SRE）によって駆動されるボラティリティモデルに対して、コンパクト集合上での連続的可逆性の概念を定義・形式化すること。
• 最適化を連続的可逆領域に制限することで、強一貫性を保証する実用的な推定手法「安定QMLE（SQMLE）」を開発すること。
• 最小限の追加正則性仮定の下で、SQMLEの漸近正規性を証明すること。
• Nelsonの経験的推定量に対するEGARCH(1,1)のQMLEの理論的欠落を解消すること。

提案手法

• SREによって駆動されるボラティリティモデルにおける連続的可逆性の概念を導入し、コンパクトなパrameter集合上での再帰的ボラティリティダイナミクスの安定性を保証する。
• 逆SREの再帰的解 $ \tilde{g}_{t+1}(\theta) = \tilde{\theta}_t(\tilde{g}_t(\theta), \theta) $ を用いて、準尤度（QL）基準を定義する。ここで $ \tilde{g}_0(\theta) $ は任意である。
• 最適化領域を経験的連続的可逆集合に制限することで、安定QMLE（SQMLE）を提案し、安定性と一貫性を保証する。
• SREの微分のリャプノフ指数に部分加法的エルゴード理論を適用し、ヘッシアン差の Cesàro 平均のほとんど確実収束を証明する。
• ヘッシアン差 $ \frac{1}{n} \big\rfloor \text{tr} \big( \nabla^2 g_t(\tilde{\theta}_n) - \nabla^2 g_t(\theta_0) \big) $ に対する再帰的バウンディングを用いて、推定誤差を制御し、収束を証明する。
• 対数モーメントの存在とSREの導関数の有界性を含む、最小限のモーメントおよび正則性条件の下で、SQMLEの漸近正規性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 EGARCH(1,1)モデルにおける準最大尤度推定量（QMLE）は、どのような条件下で強一貫性を示すか？
• RQ2 最適化領域を可逆性を保証するように制限することで、QMLEを実用的に安定化できるか？
• RQ3 連続的可逆性は、SREによって駆動されるボラティリティモデルにおけるQMLEの安定性と一貫性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 最小限の正則性条件下で、安定QMLE（SQMLE）推定量は漸近正規性を達成するか？
• RQ5 SREおよび可逆性理論を用いて、Nelsonの経験的QMLEの理論的性質をどのように厳密に確立できるか？

主な発見

• 本稿は、明示的ではあるが観測不能な条件下で、EGARCH(1,1)モデルにおけるQMLEの強一貫性を証明し、長年の理論的欠落を解消した。
• データが可逆なEGARCH(1,1)モデルに従う限り、最適化を連続的可逆領域に制限すれば、安定QMLE（SQMLE）推定量は強一貫性を示す。
• 対数モーメントの存在とSREの導関数の有界性を含む最小限の追加仮定の下で、SQMLEは漸近正規性を達成する。
• 部分加法的エルゴード理論を用いて、ヘッシアン差のCesàro平均 $ \frac{1}{n} \big\rfloor \text{tr} \big( \nabla^2 g_t(\tilde{\theta}_n) - \nabla^2 g_t(\theta_0) \big) $ がほとんど確実にゼロに収束することを確立した。
• 再帰的ヘッシアン差がゼロに収束する確率的関数によってバウンディング可能であり、これが推定量の漸近正規性を保証する。
• SREが連続的可逆である領域に最適化パスを保つことで、QMLEを安定化し、ボラティリティ予測の爆発的挙動を防止する。