[論文レビュー] Continuous Matrix Product States for Inhomogeneous Quantum Field Theories: a Basis-Spline Approach

Martin Ganahl|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2017

Advanced Physical and Chemical Molecular Interactions被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、(1+1)次元における非一様な量子場理論の基底状態を変分最適化可能にするスプラインに基づく連続行列積状態（spMPS）形式を導入する。基礎スプライン補間と新規のゲージ変換技術を活用することで、並進不変系に向けた先行する最適化アルゴリズムを周期的・非一様ハミルトニアンへと拡張し、周期的ポテンシャル中のLieb-Linigerボソン系の基底状態を成功裏に計算した。

ABSTRACT

Continuous Matrix Product States (cMPS) are powerful variational ansatz states for ground states of continuous quantum field theories in (1+1) dimension. In this paper we introduce a novel parametrization of the cMPS wave function based on basis-spline functions, which we coin spline-based MPS (spMPS), and develop novel regauging techniques for inhomogeneous cMPS. We extend a recently developed ground-state optimization algorithm for translational invariant cMPS [M. Ganahl, J. Rincón, G.Vidal. Phys.Rev.Lett. 118,220402 (2017)] to the case of inhomogeneous cMPS and, as proof-of-principle, use it to obtain the ground-state of a gas of Lieb-Liniger bosons in a periodic potential. The proposed method provides a first working implementation of a cMPS optimization for non-translational invariant continuous Hamiltonians.

研究の動機と目的

• 連続行列積状態（cMPS）の非一様な量子場理論における効率的最適化手法の欠如に対処する。
• 並進不変でないハミルトニアンに対するcMPSの最適化という、長年の未解決問題に取り組む。
• 基礎スプライン関数（spMPS）を用いた、cMPS波動関数の数値的に安定で効率的なパラメータ化を構築する。
• spMPSに特化した新しいゲージ変換手順を導入することで、変分最適化アルゴリズムを非一様系へと拡張する。
• 周期的ポテンシャル中の相互作用するLieb-Linigerボソンの基底状態の計算を通じて、本手法の実現可能性を示す。

提案手法

• cMPSアンザッツにおける行列値関数 Q(x) と R(x) を基礎スプライン関数で表現するスプラインに基づくcMPS波動関数のパラメータ化、通称spMPSを提案する。
• 連続系のグリッドベースの離散化を実装し、Q(x_i) と R(x_i) を離散点 x_i で定義し、Bスプラインによる補間を実施する。
• spMPSに特化した新しいゲージ変換アルゴリズムを開発し、最適化中のゲージ不変性と数値的安定性を維持する。
• 周期的境界条件とspMPS構造を組み込むことで、並進不変cMPS用に既に開発済みの基底状態最適化アルゴリズムを非一様系へと拡張する。
• 正則化されたユニットセル転送演算子 T_l⊥(x_i) および T_r⊥(x_i) を含む幾何級数の逆行列を、恒等演算子に直交するように射影することで発散を除去し、スパース線形ソルバー（例：lgmres）を用いて求解する。
• spMPS形式から導出された発展方程式に従い、基準点（例：x_i = 0）から他のグリッド点へと補助状態 H_l(x_i) と H_r(x_i) を発展させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スプラインに基づくパラメータ化（spMPS）は、非一様cMPS波動関数の安定的かつ効率的な表現を可能にするか？
• RQ2 ゲージ変換技術は、spMPSフレームワーク内でのゲージ不変性と数値的精度の維持のためにどのように一般化可能か？
• RQ3 並進不変cMPS用に開発された基底状態最適化アルゴリズムを、非一様で周期的なハミルトニアンへと拡張することは可能か？
• RQ4 spMPS形式は、周期的ポテンシャル中の強い相互作用を示す量子場理論（例：Lieb-Linigerボソン）の基底状態を正確に記述できるか？
• RQ5 転送演算子の正則化は、spMPSにおけるエネルギー期待値計算の安定化にどのように寄与するか？

主な発見

• 提案されたspMPS形式により、非一様連続量子場理論におけるcMPSの変分最適化が実現可能となり、並進不変でないハミルトニアンに対する最初の実装が達成された。
• 基礎スプライン補間の使用により、滑らかで柔軟性に富み、数値的に安定したcMPS波動関数のパラメータ化が実現され、単純なグリッド離散化に起因する問題を回避した。
• 開発されたゲージ変換技術により、空間領域全域にわたる補助状態の一貫性ある安定的発展が可能となり、ゲージ不変性が保たれ、正確なエネルギー計算が可能になった。
• 拡張された最適化アルゴリズムにより、周期的ポテンシャル中のLieb-Linigerボソン系の基底状態が成功裏に計算され、本手法の実現可能性と正確性が実証された。
• ユニットセル転送演算子の恒等成分を射影することで正則化したことで、幾何級数の発散が除去され、有限で意味のあるエネルギー期待値が得られるようになった。
• 補助状態方程式をスパース線形ソルバー（例：lgmres）により解くことで収束が達成され、ある点での解を用いて他の点へと発展させる手法により、計算コストが顕著に削減された。