[論文レビュー] Continuous multifacility ordered median location problems

Víctor Blanco, Safae El-Haj Ben-Ali+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2014

Facility Location and Emergency Management被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、任意の次元におけるℓτ-ノルムを用いた連続的多施設順序付き中間施設配置問題を解くための2つの新規手法を提案する。1つは2次錐混合整数計画（SOCP-MIP）であり、もう1つは逐次的に行われる半正定値計画（SDP）の系列である。SDPアプローチは最適解に収束し、標準的なSDPソルバを用いて多項式時間で解けるため、この非凸問題のクラスに対して強力な凸緩和フレームワークを提供する。

ABSTRACT

In this paper we propose a general methodology for solving a broad class of continuous, multifacility location problems, in any dimension and with ℓτ-norms proposing two different methodologies: (1) by a new second order cone mixed integer programming formulation and (2) by formulating a sequence of semidefinite programs that converges to the solution of the problem; each of these relaxed problems solvable with SDP solvers in polynomial time.

研究の動機と目的

• 任意の次元におけるℓτ-ノルムを用いた連続的多施設順序付き中間施設配置問題を解く課題に対処すること。
• 標準的なユークリッド距離やマンハッタン距離のノルムを超える広範な施設配置問題のクラスに適用可能な汎用最適化フレームワークを構築すること。
• 元の非凸問題のグローバル最適解に収束する多項式時間で解ける緩和法を提供すること。
• 凸緩和技術を活用して、標準的な最適化ソルバを用いて効率的な計算を可能にすること。
• 順序付き中間施設目的関数を有する複雑な配置問題を解くための理論的かつ計算的基盤を確立すること。

提案手法

• 多施設順序付き中間施設問題を2次錐混合整数計画（SOCP-MIP）として定式化し、混合整数錐最適化により正確な解法を可能にする。
• 元の問題を緩和し、最適解に収束する半正定値計画（SDP）の系列を提案する。
• 非凸的かつ非滑らかな順序付き中間施設目的関数を、取り扱いやすい半正定値計画形式に変換するための凸緩和技術を用いる。
• SDPの多項式時間ソルバを活用して、元の問題のグローバル解を効率的に近似する。
• ℓτ-ノルムフレームワークを用いて、ℓ1やℓ2ノルムを超える一般化を実現し、距離の好みを柔軟にモデル化可能にする。
• SDP緩和の系列が、連続的多施設順序付き中間施設問題の真の最適解に収束することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℓτ-ノルムを用いた連続的多施設順序付き中間施設問題を解くために、2次錐混合整数計画法が有効に適用可能かどうか。
• RQ2 非凸的多施設順序付き中間施設問題の最適解に収束するように、半正定値計画（SDP）の系列を構築可能かどうか。
• RQ3 提案されたSDP緩和が、元の問題の構造をどれほど保ちつつ、多項式時間で解けるようにするか。
• RQ4 提案手法が、任意の次元および異なるℓτ-ノルムの施設配置設定にどの程度一般化可能か。
• RQ5 SDP緩和アプローチの計算効率と収束特性が、正確な混合整数計画法と比較してどのように異なるか。

主な発見

• 提案された2次錐混合整数計画法により、ℓτ-ノルムを用いた連続的多施設順序付き中間施設問題の正確な解法が可能になった。
• SDPの系列は、元の非凸問題のグローバル最適解に収束する緩和を提供する。
• 系列に含まれる各半正定値計画は、標準的なSDPソルバを用いて多項式時間で解けるため、計算の実行可能性が保証される。
• SDPに基づくアプローチは、任意の次元の問題へも一般化可能でスケーラブルな凸緩和フレームワークを提供する。
• 凸緩和技術を用いることで、順序付き中間施設目的関数の非凸的かつ非滑らかさを効果的に扱える。
• SDP緩和系列が真の最適解に収束することから、提案手法の理論的妥当性が裏付けられた。