[論文レビュー] Continuous Optimization for Control of Hybrid Systems with Hysteresis via Time-Freezing

Armin Nurkanović, Moritz Diehl|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2022

Piezoelectric Actuators and Control参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ヒステリシスを有するハイブリッドシステムを、整数変数を用いずに連続非線形計画法（NLP）による高精度最適制御が可能な、区分的滑らかシステム（PSS）に変換する時間凍結再定式化を提案する。補助ダイナミクスと時計状態を導入することで、状態遷移を滑らかなダイナミクスに変換し、FESD法を用いて時間最適制御問題を高精度に解くことが可能になる。混合整数法に比べ、精度とロバスト性において優れる。

ABSTRACT

This article regards numerical optimal control of a class of hybrid systems with hysteresis using solely techniques from nonlinear optimization, without any integer variables. Hysteresis is a rate independent memory effect which often results in severe nonsmoothness in the dynamics. These systems are not simply Piecewise Smooth Systems (PSS); they are a more complicated form of hybrid systems. We introduce a time-freezing reformulation which transforms these systems into a PSS. From the theoretical side, this reformulation opens the door to study systems with hysteresis via the rich tools developed for Filippov systems. From the practical side, it enables the use of the recently developed Finite Elements with Switch Detection [Nurkanovic et al., 2022], which makes high accuracy numerical optimal control of hybrid systems with hysteresis possible. We provide a time optimal control problem example and compare our approach to mixed-integer formulations from the literature.

研究の動機と目的

• レートに依存しない記憶効果に起因する著しい非滑らか性を示すヒステリシスを有するハイブリッドシステムの最適制御問題（OCP）を数値的に解く課題に対処する。
• 正確なスイッチング時刻を必要とする非線形または時間最適問題において、混合整数最適化（MIOP）手法が計算的に解けないという制限を克服する。
• 時間凍結による再定式化を通じて、ヒステリシスを有するシステムをPSSに変換し、FESD法を含む高度な連続最適化手法を適用可能にする。
• 時間凍結を用いたPSSへのヒステリシスダイナミクスの変換を、構成的かつ理論的根拠をもって行い、解の同等性を保証する。
• 時間最適制御において、連続最適化アプローチが混合整数定式化に比べ、精度、収束のロバスト性、計算効率の面で優れていることを示す。

提案手法

• ヒステリシス状態 w(t) を連続的微分状態として扱う時間凍結再定式化を提案し、補助ダイナミクスと時計状態を導入して状態遷移をモデル化する。
• 補助系の進化中、時計状態が凍結するように定式化し、連続的時間凍結系から元の不連続解を再構成可能にする。
• 元のシステムが許容しない領域で進化する補助常微分方程式（ODE）を構築し、端点が状態遷移則を満たすようにすることで、解の同等性を保証する。
• FESD（スイッチ検出付き有限要素法）を用いて、得られたPSSを高次元・高精度に離散化し、非滑らかOCPの正確な解法を可能にする。
• OCPを補完制約付き数学計画問題（MPCC）として定式化し、IPOPTなどのNLPソルバを用いて解くことで、混合整数計画法を回避する。
• NOSNOCソフトウェアパッケージに実装し、CasADiとIPOPTを統合して離散化MPCCの効率的解法を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒステリシスを有するハイブリッドシステムは、整数変数を導入せずに、区分的滑らかシステム（PSS）に再定式化可能か？
• RQ2 時間凍結再定式化は、元のヒステリシス系と変換されたPSSとの間で解の同等性を保たれるか？
• RQ3 連続的非線形計画法（NLP）技術のみを用いて、ヒステリシスを有するハイブリッドシステムの高精度最適制御が可能か？
• RQ4 FESDに基づく連続的アプローチの性能は、従来の混合整数最適化（MIOP）定式化と比べ、精度と収束性の面でどのように異なるか？
• RQ5 時間凍結法により、複雑なヒステリシスダイナミクスを有する時間最適制御問題を、ロバストかつ高精度に解くことが可能か？

主な発見

• 時間凍結再定式化により、ヒステリシスを有するハイブリッドシステムのクラスがPSSに変換され、高度な連続的最適制御手法の適用が可能となった。
• 時間凍結PSSにFESD法を適用した結果、終端制約違反が 9.49×10⁻² にまで低下した。一方、GurobiとBonminは 7.88×10¹ を示しており、顕著に低い。
• NOSNOC（IPOPTを用いて）は8.87秒でOCPを解き、最終時間 Tf = 10.26 を達成した。Gurobi（5.31秒）よりは若干遅いが、精度は大きく上回り、Bonmin（1481.58秒）よりも優れている。
• IPOPT（NOSNOCで使用）は一部の離散化バージョンで収束しなかったが、Gurobiは成功したため、連続的NLPアプローチは混合整数アプローチよりもロバストであることが示された。
• 図4に示される滑らかで直感的な制御プロファイルから、本手法によりヒステリシスを有する時間最適制御問題が高精度に解かれていることが実証された。特にターボチャージャーが最適に使用されている。
• 元のヒステリシス系と時間凍結PSSとの間の解の同等性は厳密に証明されており、再定式化の理論的妥当性が確立された。