[論文レビュー] Continuous orbit equivalence, flow equivalence of Markov shifts and circle actions on Cuntz--Krieger algebras

Kengo Matsumoto|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、連続的軌道同値性と1-コサイクルを用いて、両側トポロジカル・マルコフ・シフトのフロー同値性と、安定化されたクンツ–クリーガー代数の同型が、ガージ作用と円周作用を交換させるという点で対応することを確立する。主な結果は、フロー同値性が、標準的な最大可換部分代数を保存し、ユニタリ1-コサイクルを介してねじれガージ作用を交換させる安定化代数上の同型の存在を示している。

ABSTRACT

We will study torus actions on Cuntz--Krieger algebras trivially acting on its canonical maximal abelian $C^*$-subalgebras from the view points of continuous orbit equivalence of one-sided topological Markov shifts and flow equivalence of two-sided topological Markov shifts.

研究の動機と目的

• 両側トポロジカル・マルコフ・シフトのフロー同値性とクンツ–クリーガー代数の構造との関係を明確化すること。
• クンツ–クリーガー代数上の円周作用が連続的軌道同値性およびフロー同値性とどのように関係するかを調査すること。
• 動的同値性（連続的軌道同値性、フロー同値性）と安定化C*-代数の代数的同型との間の対応を確立すること。
• 二つのクンツ–クリーガー代数がフロー同値なマルコフ・シフトから生じるための条件を、標準的な最大可換部分代数を保存し、ガージ作用を交換させる同型を用いて特徴づけること。

提案手法

• 片側マルコフ・シフトと、標準的な最大可換C*-部分代数を保存するクンツ–クリーガー代数の同型との間をつなぐ橋渡しとして、連続的軌道同値性を用いる。
• フロー同値性が展開と位相的同相性によって生成されることを示したパリー–サリヴァンの結果を適用し、問題をこれらの基本的移動に還元する。
• 標準的な最大可換部分代数 DA ⊗ C を保存する、(OA ⊗ K) と (OB ⊗ K) 間の同型を構成する。
• 関数 f ∈ C(XA, ℤ) によって誘導される自己同型をねじれガージ作用 ρA,f ⊗ id に関して、ユニタリ1-コサイクル ṽtf ∈ U(M(OÃ ⊗ K)) を導入して、それらを交換させる。
• 連続的軌道同値性が、DA を保存しガージ作用を保存する OA と OB 間の同型を示すことを用い、コンパクト作用素とのテンソル積により安定化代数へ拡張する。
• 先行研究（例：[17]）で確立された、連続的軌道同値性と、標準的なマサおよびガージ作用を保存するクンツ–クリーガー代数の同型との間の同値性に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 片側マルコフ・シフトの連続的軌道同値性は、クンツ–クリーガー代数の構造とどのように関係するか？
• RQ2 両側マルコフ・シフトのフロー同値性に対応するクンツ–クリーガー代数の明確な代数的条件は何か？
• RQ3 クンツ–クリーガー代数上のガージ作用は、安定化代数への作用に持ち上げられ、フロー同値性を尊重するようにできるか？
• RQ4 ユニタリ1-コサイクルは、フロー同値性によって誘導される同型の下で、ねじれガージ作用をどのように交換させるか？
• RQ5 シフト空間の順序付きK理論は、このような同型の存在とどのように関係するか？

主な発見

• 両側トポロジカル・マルコフ・シフト (X̄A, σ̄A) と (X̄B, σ̄B) のフロー同値性は、同型 Φ: OA ⊗ K → OB ⊗ K が存在し、Φ(DA ⊗ C) = DB ⊗ C を満たすことを示唆する。
• 同型 Φ はねじれガージ作用を交換させる：すべての f ∈ C(XA, ℤ) および t ∈ ℝ/ℤ に対して、Φ ∘ Ad(utf) ∘ (ρA,f,t ⊗ id) = (ρB,φ(f),t ⊗ id) ∘ Φ が成り立つ。
• Φ によって誘導される写像 φ: C(XA, ℤ) → C(XB, ℤ) は、部分群 HA と HB 間の順序付きアーベル群の同型である。
• この結果は、パリー–サリヴァンの定理に基づき、フロー同値性が位相的同相性と展開 A → Ã によって生成されることを示している。
• 構成では、中間の安定化を通じて同型を上昇させるために、ρÃ, f ⊗ id に関してユニタリ1-コサイクル ṽtf ∈ U(M(Oà ⊗ K)) を用いる。
• 本稿では、標準的なマサを保存し、ねじれガージ作用を交換させる安定化クンツ–クリーガー代数の同型という観点から、フロー同値性の完全な代数的特徴づけを確立している。