[論文レビュー] Continuous perturbations of noncommutative Euclidean spaces and tori

Li Gao|arXiv (Cornell University)|May 22, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ヒルベルト空間上の有界作用素のC*-代数におけるユニタリ生成子のLip^{1/2}連続経路を構成することで、非可換ユークリッド空間およびトーラスの連続的なモーリング変形を確立する。ハーグループとロールダムの回転C*-代数経路に基づくテンソル積構成を用い、次元がより高い非可換トーラスおよび非コンパクトな非可換ユークリッド空間へとその結果を一般化する。変形が Hölder 型正則性 1/2 に関して一様連続であることを証明する。

ABSTRACT

We prove a noncompact version of Haagerup and Rørdam's result about continuous paths of the rotation $C^*$-algebras. It gives a continuous Moyal deformation of Euclidean plane. Moveover, the construction is generalized to noncommutative Euclidean spaces of dimension $d\ge 2$. As a corollary, we obtain Lip$^{\frac12}$ continuous maps for the generators of noncommutative $d$-tori.

研究の動機と目的

• 回転C*-代数のハーグループとロールダムによる連続経路構成を、高次元非可換トーラスおよび非可換ユークリッド空間へ拡張すること。
• 非可換平面および高次元非可換ユークリッド空間に対する連続的なモーリング変形を確立すること。
• 非可換d次元トーラスの生成子が、ヒルベルト空間上の有界作用素のC*-代数においてLip^{1/2}連続経路を有することを示すこと。
• ヘイゼンベルク交換関係における有界摂動法を、非コンパクトな設定における非可換ユークリッド空間への連続変形を構成するために一般化すること。

提案手法

• d=2の場合に、ハーグループ＝ロールダムの経路をU(H)におけるテンソル積を用いて非可換d次元トーラスの連続ユニタリ経路を構成する。
• d=3の場合に、u1(θ) = u(θ12)⊗u(θ13)⊗I、u2(θ) = v(θ12)⊗I⊗u(θ23)、u3(θ) = I⊗v(θ13)⊗v(θ23) と定義し、正しい交換関係を満たすようにする。
• 三角不等式と元の経路のHölder連続性を用いて、高次元生成子のLip^{1/2}連続性を導出する。
• ヘイゼンベルク関係式における有界摂動法を、非コンパクト設定における非可換ユークリッド空間の連続モーリング変形を構成するために適応する。
• ボイクルスキーの非可換Weyl-von Neumann定理を用いて表現の近似的なユニタリ同値性を確立し、距離ρにおける三角不等式の利用を可能にする。
• O2⊗O2 ≅ O2の同型を活用して、Cuntz代数O2への連続埋め込みを拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d > 2の場合に、交換関係を保ちつつHölder連続性1/2を示すユニタリ生成子の連続経路を非可換d次元トーラスに対して構成可能か？
• RQ2 d ≥ 2次元の場合に、非可換ユークリッド空間に対する連続的なモーリング変形が存在するか、d=2の場合と同様の形で構成可能か？
• RQ3 コンパクトな設定（回転代数）で用いられる有界摂動法を、非可換ユークリッド空間の非コンパクト設定に適応可能か？
• RQ4 スケュービック行列パrameter θ ∈ R^{d(d−1)/2}に関して、生成子経路のLip^{1/2}連続性の均一なバウンドが存在するか？
• RQ5 非可換d次元トーラスのB(H)またはO2への連続埋め込みが、経路写像の明示的Hölder正則性とともに確立可能か？

主な発見

• 本稿では、パラメータ空間A[d] ≡ [0,1]^{d(d−1)/2}からU(H)へのd個の連続写像u1,…,udを構成し、生成子が非可換d次元トーラスの標準的交換関係を満たすことを示す。
• 構成された経路は、任意のjおよびθ,θ' ∈ A[d]に対して、||uj(θ) − uj(θ')|| ≤ C(∑k |θjk − θ'jk|^{1/2}) を満たすLip^{1/2}連続性推定式を満たす。
• 同様のテンソル積法をヘイゼンベルク交換関係に適用することで、d ≥ 2次元の非可換ユークリッド空間への一般化が可能である。
• 非可換平面に対する連続的なモーリング変形が確立され、ハーグループ＝ロールダムの結果が非コンパクト設定へ拡張される。
• スケュービック行列の空間上の距離ρは三角不等式を満たし、これによりwell-definedな連続的C*-代数のフィールドの構成が可能になる。
• 結果として、O2⊗O2 ≅ O2の同型より、非可換d次元トーラスがLip^{1/2}正則性を伴い、Cuntz代数O2へ連続的に埋め込まれることが示唆される。