[論文レビュー] Continuous random field solutions to parabolic SPDEs on p.c.f. fractals

Ben Hambly, Weiye Yang|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、p.c.f.フラクタル上での放物型確率的偏微分方程式（SPDE）の連続した確率場解の存在を保証する十分条件を、コルモゴロフ型連続性定理を用いて確立する。空間および時間における明示的なホルダー連続性指数を導出し、ユークリッド空間からの一般化を実現するとともに、da Prato–Zabczyk型およびウォルシュ型SPDEに応用し、放物型アンダーソンモデルにおける弱い間欠性の形式も含む。

ABSTRACT

We consider a general class of $L^2$-valued stochastic processes that arise primarily as solutions of parabolic SPDEs on p.c.f. fractals. Using a Kolmogorov-type continuity theorem, conditions are found under which these processes admit versions which are function-valued and jointly continuous in space and time, and the associated Hölder exponents are computed. We apply this theorem to the solutions of SPDEs in the theories of both da Prato--Zabczyk and Walsh. We conclude by discussing a version of the parabolic Anderson model on these fractals and demonstrate a weak form of intermittency.

研究の動機と目的

• p.c.f.フラクタル上での放物型SPDEを解く$L^2$-値確率過程が、時間と空間で共に連続である確率場バージョンを有するための条件を確立すること。
• 既存のユークリッド空間における連続性結果をp.c.f.フラクタルへ一般化し、特に[HY18]の確率的熱方程式結果をより広いクラスのSPDEへ拡張すること。
• da Prato–Zabczykおよびウォルシュフレームワーク下でのSPDE解析を、フラクタル領域において統一するための単一の連続性基準を導出すること。
• p.c.f.フラクタル上での放物型アンダーソンモデルを検討し、モーメント成長推定を通じて弱い間欠性を示すこと。

提案手法

• 時間と空間の両方で連続性を確立するため、$[0,T] \times F$でインデックス付けられた確率過程に対して、コルモゴロフ型連続性定理を、$F$をp.c.f.自己相似フラクタルとする場合に拡張する。
• 解過程の増分のモーメントを推定する手法として、$F$上でのラプラシアン$\Delta_b$に付随する半群$S^b$を用いる。
• 空間的距離として、ユークリッド距離に代えてフラクタル上の抵抗距離を用い、熱核$p^N_t(x,y)$のスケーリング性質を活用する。
• 主要な推定には、熱核のスケーリングを特徴付ける関数$\kappa$の使用と、モーメントバウンドへの再生理論の応用が含まれる。
• 乗法的ドリフトおよび拡散項の両方に対応可能であり、特に時間に依存する乗法的ノイズ（ウォルシュ型SPDE）に対して特別な取り扱いがなされる。
• 単位区間$[0,1]$がp.c.f.フラクタルであるという事実を活用し、フーリエ解析や明示的な熱核表現に依存せずに、$[0,1]$上での既知の結果を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p.c.f.フラクタル上での放物型SPDEの弱解$U(t)$が、時間と空間で共に連続であるバージョンを有するための条件は何か？
• RQ2 連続バージョンの解の時間および空間における最適なホルダー指数は何か？また、それらはフラクタルの幾何構造およびSPDE係数にどのように依存するか？
• RQ3 da Prato–Zabczykおよびウォルシュフレームワーク下でのSPDEに対して、フラクタル上での連続性結果を統一できるか？
• RQ4 p.c.f.フラクタル上での放物型アンダーソンモデルは、第二モーメントの成長によって測定される弱い間欠性を示すか？
• RQ5 フラクタル上の抵抗距離は、ユークリッド空間と比較してSPDE解の正則性にどのように影響するか？

主な発見

• SPDE (1.1) の解$U(t)$は、$\beta$および$\sigma$に関するやや弱い正則性条件の下で、ほとんど確実に$[0,T] \times F$で共に連続なバージョンを有する。
• 時間および空間におけるホルダー連続性指数は、フラクタルのスペクトル次元$d_s$および熱核のスケーリング関数$\kappa$によって明示的に決定される。
• p.c.f.フラクタル上での確率的熱方程式に対しては、解はほとんど確実に空間で$\frac{1}{2}$-ホルダー連続であり、時間で$\frac{1}{4}$-ホルダー連続であり、ユークリッド空間の場合と一致する。
• コンパクトなp.c.f.フラクタル上での放物型アンダーソンモデルは弱い間欠性を示す：ノイズ係数$g$が非退化であれば、第二モーメント$\mathbb{E}[u(t,x)^2]$は時間に関して少なくとも指数関数的に増加する。
• 第二モーメント$I(t) = \inf_{x\in F} \mathbb{E}[u(t,x)^2]$に対して下界が確立され、$\liminf_{t\to\infty} \exp(-c_{11}\kappa^{-1}(L_g^2)t) I(t) \geq \inf_x u_0(x)^2$が成り立つことから、弱い間欠性が確認される。
• 本結果は、フーリエ変換や明示的な熱核表現を用いずに、$[0,1]$上での連続解の存在を保証する代替的証明を提供する。