[論文レビュー] Continuous-state branching processes

Zenghu Li|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 17被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、連続状態の分岐過程（CB過程）および移住を伴う拡張について、確率微分方程式、Lamperti変換、マルティンゲール問題に焦点を当てた包括的な概説を提示する。状態依存型移住を伴うCBI過程について、反復近似と確率積分法を用いてパスワイズ一意性および存在性を確立し、従属する移住機構を伴う集団動態のモデル化にきわめて厳密な基礎を提供する。

ABSTRACT

These notes were used in a short graduate course on branching processes the author gave in Beijing Normal University. The following main topics are covered: scaling limits of Galton--Watson processes, continuous-state branching processes, extinction probabilities, conditional limit theorems, decompositions of sample paths, martingale problems, stochastic equations, Lamperti's transformations, independent and dependent immigration processes. Some of the results are simplified versions of those in the author's book "Measure-valued branching Markov processes" (Springer, 2011). We hope these simplified results will set out the main ideas in an easy way and lead the reader to a quick access of the subject.

研究の動機と目的

• 大学院レベルの研究者を対象に、連続状態の分岐過程（CB過程）およびその移住を伴う拡張について、簡潔でありながらも厳密な導入を提供すること。
• 状態依存型移住率を伴うCBI過程を記述する確率微分方程式の解の存在性およびパスワイズ一意性を確立すること。
• CB過程、Lampertiの時間変換変換、および拡散型およびジャンプ型過程に対するマルティンゲール問題との関係を明らかにすること。
• 独立型、時間依存型、および相互作用型移住率を含む、移住機構の構造的性質を分析すること。

提案手法

• ギャルトン＝ウォーソンの分岐過程のスケーリング極限としてCB過程を構成し、弱収束およびラプラス変換による特徴付けを導出する。
• ラプラス変換および弱収束の基準を用いて、正の半直線上の無限に可除な分布を特徴付ける。
• 反復近似スキームを適用して、状態依存型移住を伴う確率微分方程式の解の存在を証明する。
• 伊藤の公式を用いて、一般の分岐および移住機構を伴うCBI過程の生成作用素およびマルティンゲール問題の定式化を導出する。
• Lamperti変換を用いて、時間変換技術を通じてCB過程とリーマン過程との関係を確立する。
• カーディナル過程空間におけるグローヴァルの不等式および収束の議論を用いて、パスワイズ一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続状態の分岐過程は、どのように離散的ギャルトン＝ウォーソン過程のスケーリング極限として構成できるか？
• RQ2 状態依存型移住を伴うCBI過程の確率微分方程式の解の存在性およびパスワイズ一意性を保証する条件は何か？
• RQ3 Lamperti変換は、時間変換を通じてCB過程のダイナミクスをリーマン過程とどのように関連付けるか？
• RQ4 生成作用素およびマルティンゲール問題の定式化は、CBI過程のマルコフ性を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 相互作用型移住率は、CBI過程の標本路構造および長期的挙動にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 状態依存型移住を伴うCBI過程の確率微分方程式（5.3.2）の解は、パスワイズに一意的であり、正の càdlàg プロセスとして存在することが、反復近似および収束の議論により証明された。
• この解はマルティンゲール問題の定式化（5.3.9）を満たし、生成作用素は明示的に方程式（5.3.11）で与えられ、分岐、拡散、および状態依存型移住成分を統合している。
• 任意の予測可能過程 ρ(s) が存在し、∫₀ᵗ ℙ[|q(Yₖ(s))−ρ(s)|]ds → 0 (k→∞) が成り立つことにより、近似列が真の解に収束することが保証される。
• 解プロセス {Yₜ} は強マルコフ性を備え、部分列において a.s. で limₙ→∞ sup₀≤s≤t |Yₖₙ(s)−Yₛ| = 0 が成り立つ。
• 本手法は、2つのリプシッツ関数 q₁ および q₂ に対しても適用可能であり、相互作用型移住率を伴う方程式（5.3.13）のパスワイズに一意な解が得られる。
• グローヴァルの不等式の使用により、確率微分方程式（5.3.2）の解の唯一性が保証され、連続する近似の期待差に対するバウンディングが得られた。