[論文レビュー] Continuous-state branching processes with immigration

Zenghu Li|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、連続状態の分岐過程に移民が加わるCBI過程（CBI-processes）について、確率微分方程式、パス構造、長期的挙動に焦点を当てた、簡潔でアクセス可能な導入を提供する。弱い条件下でも強いFeller性および指数的エルゴード性を確立し、カップリング技法を用いて、唯一の定常分布への指数的収束を証明する。

ABSTRACT

This work provides a brief introduction to continuous-state branching processes (CB-processes) and continuous-state branching processes with immigration (CBI-processes) accessible to graduate students with reasonable background in probability theory and stochastic processes. In particular, we give a quick development of the stochastic equations of the processes and some immediate applications. The proofs given here are more elementary than those appearing in the literature before. We have made them readable without requiring too much preliminary knowledge on branching processes and stochastic analysis. In Section 1, we review some properties of Laplace transforms of finite measures on the positive half line. In Section 2, a construction of CB-processes is given as rescaling limits of Galton--Watson branching processes. This approach also gives the physical interpretation of the CB-processes. Some basic properties of the processes are developed in Section 3. The Laplace transforms of some positive integral functionals are calculated explicitly in Section 4. In Section 5, the CBI-processes are constructed as rescaling limits of Galton--Watson branching processes with immigration. In Section 6, we present reconstructions of the CB- and CBI-processes by Poisson random measures determined by entrance laws, which reveal the structures of the trajectories of the processes. Several equivalent formulations of martingale problems for CBI-processes are given in Section 7. From those we derive the stochastic equations of the processes in Section 8. Using the stochastic equations, some characterizations of local and global maximal jumps of the CB- and CBI-processes are given in Section 9. In Section 10, we prove the strong Feller property and the exponential ergodicity of the CBI-process under suitable conditions using a coupling based on one of the stochastic equations.

研究の動機と目的

• 確率解析の前提知識を最小限に抑えた大学院レベルのCBI過程の導入を提供すること。
• 初等的手法を用いてCBI過程の確率微分方程式を構築すること。
• カップリングを用いて、遷移半群の強いFeller性および指数的エルゴード性を確立すること。
• CBI過程の長期的挙動を特徴づけ、唯一の定常分布への収束を明らかにすること。

提案手法

• CBI過程を移民付きの離散的分岐過程のスケーリング極限として構成する。
• ラプラス変換と確率的時間変更を用いて、CBおよびCBI過程の分布を特徴付ける。
• マルティンゲール問題の定式化からCBI過程の確率微分方程式を導出する。
• 強い確率的方程式に基づくカップリング技法を用いて、強いFeller性を証明する。
• 遷移核と不変測度の全 Variation 距離を評価することで、指数的エルゴード性を確立する。
• 関数 $ v_t(\theta) $ を用いて収束速度を分析し、収束速度の明示的評価を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CBI過程は、移民付きの離散的分岐過程のスケーリング極限としてどのように構成できるか？
• RQ2 CBI過程の遷移半群に対して強いFeller性が保証される条件は何か？
• RQ3 CBI過程の遷移分布は、どの程度の速さでその定常分布に収束するか？
• RQ4 分岐機構 $ \phi $ と移民機構 $ \psi $ は、長期的挙動にどのように寄与するか？
• RQ5 カップリング法を用いて、不変測度への収束速度を明示的に導出できるか？

主な発見

• CBI過程の遷移半群 $ (P_t)_{t \geq 0} $ は強いFeller性を満たす。これは、任意の有界可測関数 $ f $ に対して $ P_t f $ が連続であることを意味する。
• 条件 $ b > 0 $ の下で、CBI過程は一意な定常分布 $ \eta $ を持ち、そのラプラス変換は $ L_\eta(\lambda) = \exp\left\{ -\int_0^\lambda \frac{\psi(z)}{\phi(z)} dz \right\} $ で与えられる。
• 遷移分布 $ P_t(x, \cdot) $ から $ \eta $ への収束は指数的に速く、$ t \geq r > 0 $ に対して $ \|P_t(x, \cdot) - \eta\|_{\text{var}} \leq 2[x + b^{-1}\psi'(0)] \bar{v}_r e^{b(r-t)} $ という評価が成り立つ。
• 定常分布の一次モーメントは $ \int y \eta(dy) = b^{-1} \psi'(0) $ であり、これはラプラス変換を $ \lambda = 0 $ で微分することで得られる。
• カップリング法により、$ \|P_t(x, \cdot) - P_t(y, \cdot)\|_{\text{var}} \leq 2 \bar{v}_t |x - y| $ という評価が得られ、強いFeller性が確認される。
• 収束速度は $ \bar{v}_t $ に支配され、$ b > 0 $ のとき $ \bar{v}_t $ は指数的に減少するため、指数的エルゴード性が保証される。