[論文レビュー] Continuous-Time Distributed Algorithms for Extended Monotropic Optimization Problems

Xianlin Zeng, Peng Yi+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2016

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 30被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、多エージェントネットワークにおける拡張モノトロープ最適化（EMO）問題を解くために、投影出力フィードバックおよび微分フィードバックを用いた2つの新しい連続時間分散アルゴリズムを提案する。これらのアルゴリズムは、滑らかでない目的関数と結合制約を伴う状況でも、滑らかでないリャプノフ解析および微分包含を用いて、緩い条件下で最適解への収束を達成する。

ABSTRACT

This paper studies distributed algorithms for the extended monotropic optimization problem, which is a general convex optimization problem with a certain separable structure. The considered objective function is the sum of local convex functions assigned to agents in a multi-agent network, with private set constraints and affine equality constraints. Each agent only knows its local objective function, local constraint set, and neighbor information. We propose two novel continuous-time distributed subgradient-based algorithms with projected output feedback and derivative feedback, respectively, to solve the extended monotropic optimization problem. Moreover, we show that the algorithms converge to the optimal solutions under some mild conditions, by virtue of variational inequalities, Lagrangian methods, decomposition methods, and nonsmooth Lyapunov analysis. Finally, we give two examples to illustrate the applications of the proposed algorithms.

研究の動機と目的

• 滑らかでない分離可能な凸目的関数と結合制約を伴う多エージェントネットワークにおける分散最適化の課題に対処すること。
• 中央集権的な調整を必要とせず、ローカル情報のみを用いて動作する連続時間アルゴリズムを設計すること。
• 集合制約およびアフィン等式制約が存在する状況でも最適解への収束を保証すること。
• 微分包含の安定性理論を用いて、エージェントの状態の有界性および収束性を確立すること。
• ネットワークフローおよびリソース割り当てといった実世界を想定した例を通じて、適用可能性を示すこと。

提案手法

• 個々の凸関数の和としてEMO問題を定式化し、プライベートな集合制約とグローバルなアフィン等式制約を含める。
• 2つの連続時間分散アルゴリズムを提案する：1つは投影出力フィードバック（DPOFA）を用い、もう1つは微分フィードバック（DDFA）を用いる。
• 射影演算子を用いてローカル制約集合を強制し、状態軌道の妥当性を維持する。
• ラグランジュ双対性および分解手法を用いて、グローバル問題を局所的サブプロブレムに分離する。
• 滑らかでないリャプノフ解析および微分包含の不変性原理を適用し、収束を証明する。
• 結合制約を扱い、有界性を保証するために補助変数および双対変数（例：λ, z）を統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散連続時間アルゴリズムは、滑らかでない目的関数と結合制約を伴う拡張モノトロープ最適化問題を解くことができるか？
• RQ2 エージェントはローカル情報と隣接エージェントとの通信のみを用いて、どのようにグローバル最適性を達成するか？
• RQ3 滑らかでない状況下で、状態軌道の有界性および収束性を保証する条件は何か？
• RQ4 投影出力フィードバックと微分フィードバックの設計は、性能および安定性においてどのように比較されるか？
• RQ5 提案されたアルゴリズムは、ネットワークフロー最適化のような実用的問題に適用可能か？

主な発見

• DPOFAおよびDDFAアルゴリズムは、初期条件に依存せず、緩い条件下でEMO問題の最適解に収束する。
• 補助変数yやzが制約集合を離れる場合でさえ、状態変数xの軌道は常に可能集合Ω内にとどまる。
• 目的関数f(x)および制約違反‖Ax−b‖²の両方が時間とともに0に収束し、妥当性および最適性が確認される。
• シミュレーションにより、双対変数λおよびzのノルム‖λ‖²および‖z‖²が有界であることが確認された。
• 12本の弧を有する6ノードのネットワークにおける数値シミュレーションでは、2つのアルゴリズムともボックス制約付きの二次フロー最適化問題を効果的に解いた。
• 提案されたアルゴリズムは、滑らかでない凸で分離可能な目的関数の下でも、妥当性および安定性を維持する。