[論文レビュー] Continuous-time open quantum walks

Chaobin Liu, Radhakrishnan Balu|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、グラフ上の量子マーチンゲル半群としての連続時間開放量子ウォーク（CTOQW）を導入し、トレース保存かつ完全正値線形写像を用いて、開放量子系をモデル化する。CTOQWが連結グラフ上で常に定常状態に収束することを証明し、連結で正則なグラフでは最大に混合された状態に収束することを示し、他の連続時間量子過程と比較してその長期的挙動を明確に区別する。

ABSTRACT

Continuous-time open quantum walks (CTOQW) are introduced as the formulation of quantum dynamical semigroups of trace-preserving and completely positive linear maps (or quantum Markov semigroups) on graphs. We show that a CTOQW always converges to a steady state regardless of the initial state when a graph is connected. When the graph is both connected and regular, it is shown that the steady state is the maximally mixed state. The difference of long-time behaviors between CTOQW and other two continuous-time processes on graphs is exemplified.

研究の動機と目的

• 連続時間開放量子ウォーク（CTOQW）をグラフ上の量子マーチンゲル半群として形式化すること。
• さまざまなグラフトポロジーにおけるCTOQWの長期的挙動を分析すること。
• CTOQWが最大に混合された状態に収束するための条件を確立すること。
• CTOQWのダイナミクスを、他のグラフ上での連続時間量子過程と対比すること。

提案手法

• グラフ構造の状態空間上でトレース保存かつ完全正値線形写像を用いて、CTOQWを量子ダイナミカル半群として定式化すること。
• ノード間の遷移レートを符号化するグラフラプラシアンに類似した構造を用いて、半群の生成子をモデル化すること。
• 量子マーチンゲル半群の理論を用いて、定常状態への収束を分析すること。
• スぺクトルグラフ理論を用いて、連結性および正則性の条件下での定常状態を特徴付けること。
• 同一のグラフ上で、CTOQWの漸近的ダイナミクスをユニタリ量子ウォークおよび古典的連続時間マコフ連鎖と比較すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間開放量子ウォークがグラフ上で定常状態に収束する条件は何か？
• RQ2 グラフが連結で正則である場合、定常状態の構造はどのようなものか？
• RQ3 CTOQWの長期的挙動は、ユニタリ量子ウォークや古典的連続時間マコフ過程とどのように異なるか？
• RQ4 グラフトポロジーは、CTOQWの漸近的状態を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 任意の連結グラフに対して、初期状態にかかわらずCTOQWは常に定常状態に収束する。
• グラフが連結かつ正則である場合、定常状態は最大に混合された状態、すなわち一様な密度行列である。
• 収束は、量子マーチンゲル半群の性質およびグラフの連結性が誘導する非可約性によって保証される。
• CTOQWの長期的ダイナミクスは、ユニタリ量子ウォークや古典的連続時間マコフ連鎖とは本質的に異なり、特に定常状態の性質において顕著である。