[論文レビュー] Continuous time `true' self-avoiding random walk on Z

Bálint Tóth, Bálint Vető|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、整数格子 ℤ 上の連続時間「真の」自己回避ランダムウォークについて、サイトの占有時間に依存する遷移レートをもつ場合に、局所時間の極限定理および移動距離の局所極限定理を確立する。新規のカップリング技法を用いたレイ・ナイト型の議論を適応することで、スケーリングされた移動距離が非ガウス型の極限分布に収束することを証明し、スケーリング指数 $ t^{-2/3} $ を持つスーパー拡산的挙動を確認した。これは、長距離記憶を持つ1次元自己回避ウォークに関する以前の予想と整合的である。

ABSTRACT

We consider the continuous time version of the `true' or `myopic' self-avoiding random walk with site repulsion in 1d. The Ray-Knight-type method which was applied to the discrete time and edge repulsion case, is applicable to this model with some modifications. We present a limit theorem for the local time of the walk and a local limit theorem for the displacement.

研究の動機と目的

• 整数格子 ℤ 上のサイトレプulsion を持つ連続時間真の自己回避ランダムウォークの局所時間の極限定理を確立すること。
• 移動距離の局所極限定理を導出し、スケーリング指数 $ t^{-2/3} $ を用いたスーパー拡散的挙動を確認すること。
• 非マルコフ型の局所時間過程に起因する課題を克服するため、連続時間サイトレプulsion モデルにレイ・ナイト型手法を拡張すること。
• サイトレプulsion 情報における局所時間過程の非マルコフ構造を扱うために、新しいカップリング論法を開発すること。
• 長距離記憶を持つ1次元真の自己回避ウォークの非ガウス型スケーリング極限が正しいと確認すること。

提案手法

• 離散時間端レプulsion モデル（Tóth, 1995）で用いられたレイ・ナイト手法を、連続時間サイトレプulsion 場合に適応すること。
• 逆局所時間 $ T_{x,h} = \min\{t \geq 0 : \ell(t,x) \geq h\} $ と停止局所時間過程 $ \Lambda_{x,h}(y) = \ell(T_{x,h}, y) $ を定義すること。
• カップリング技法を用いて、サイトレプulsion プロセスと均一なマルコフ過程を比較し、大偏差推定を可能にすること。
• 訪問回数の増分 $ Z_k $ が形成する再生過程に再生理論を適用すること。ここで $ Z_k $ は基準サイトへの訪問間隔を表す。
• 再生過程の年齢 $ A_t $ と残存時間 $ R_t $ の裾確率に指数的尾部バウンドを確立し、$ Z_{\nu_t + 1} $ の尾部を制御すること。
• 遷移核の均一な指数的減衰が $ |\eta(t)| \leq Z_{\nu_t + 1} $ であることから導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間真の自己回避ランダムウォーク（サイトレプulsion を伴う）は、$ t^{-2/3} $ スケーリングを伴い、スーパー拡散的挙動を示すか？
• RQ2 局所時間過程が非マルコフ的であるにもかかわらず、レイ・ナイト手法はサイトレプulsion モデルに適応可能か？
• RQ3 連続時間サイトレプulsion モデルにおけるスケーリングされた移動距離 $ t^{-2/3}X(t) $ の極限分布は何か？
• RQ4 長距離記憶を持つ非マルコフ過程における閾値未満の滞在時間を制御するために、カップリング論法はどのように用いられるか？
• RQ5 サイトレプulsion モデルにおける局所時間増分に関連する再生過程の尾部特性は何か？

主な発見

• 連続時間真の自己回避ランダムウォーク（ℤ 上）の局所時間は、適切なスケーリングの下で極限定理を満たす。
• 移動距離 $ X(t) $ はスケーリング $ t^{-2/3} $ を用いた局所極限定理を満たし、スーパー拡散的挙動を確認する。
• スケーリングされた移動距離 $ t^{-2/3}X(t) $ の極限分布は非ガウス型であり、長記憶を持つ1次元自己回避ウォークに関する以前の予想と整合的である。
• 非マルコフ的障害を克服するため、新規のカップリング論法を用いてレイ・ナイト型手法がサイトレプulsion モデルに成功裏に適応された。
• 関連する再生過程の遷移核は、増分分布の指数的尾部のおかげで、時間に一様に指数的に減衰する。
• 再生過程の残存待機時間 $ R_t $ と年齢 $ A_t $ の尾部は、指数関数によって一様にバウンドされ、プロセスの経路に対するきびしい制御が可能になる。