[論文レビュー] Continuous-variable quantum compressed sensing

Matthias Ohliger, Vincent Nesme+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2011

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、タイトフレーム（過剰な非直交測定族）を用いて、連続変数系への量子圧縮センシングの拡張を実現した。これにより、少数の測定から低ランクの量子状態を効率的に再構成可能となった。本稿では、事前仮定なしに再構成の成功を保証する認証手法を導入し、制限等方性性質（RIP）を用いた普遍的かつロバストな再構成を実現。光および連続変数トモグラフィーにおける効率性とノイズ耐性が著しく向上した。

ABSTRACT

We significantly extend recently developed methods to faithfully reconstruct unknown quantum states that are approximately low-rank, using only a few measurement settings. Our new method is general enough to allow for measurements from a continuous family, and is also applicable to continuous-variable states. As a technical result, this work generalizes quantum compressed sensing to the situation where the measured observables are taken from a so-called tight frame (rather than an orthonormal basis) --- hence covering most realistic measurement scenarios. As an application, we discuss the reconstruction of quantum states of light from homodyne detection and other types of measurements, and we present simulations that show the advantage of the proposed compressed sensing technique over present methods. Finally, we introduce a method to construct a certificate which guarantees the success of the reconstruction with no assumption on the state, and we show how slightly more measurements give rise to "universal" state reconstruction that is highly robust to noise.

研究の動機と目的

• 大規模系、特に連続変数量子光物理学における量子状態トモグラフィーのスケーラビリティ問題に対処すること。
• 光学実験で一般的な連続的測定族に適用可能な圧縮センシングフレームワークを開発すること。
• 状態が低ランクまたは純粋であると仮定しないで、再構成の成功を保証する認証メカニズムを提供すること。
• わずかに多い測定数を用いて、強い誤差境界を達成し、ノイズやスペクトルが減衰するフルランク状態に対しても普遍的状態再構成を実現すること。
• ホモダイン検出やウィグナー関数の点指定測定といった実世界の応用事例への実用的適用を示すこと。

提案手法

• 正規直交基底を超えて、タイトフレーム（過剰で非直交な演算子族）を用いた量子圧縮センシングの一般化。
• 低ランク状態に対する効率的圧縮センシングを保証する、タイトフレーム用の新たな非一様性条件を導入。拡張された「ゴルフィング」証明技法を用いる。
• 凸双対性に基づく認証手法を開発。未知状態に関する仮定なしに、再構成成功を事後的に検証可能。
• 制限等方性性質（RIP）を適用し、統計的ノイズやデコherenceに対しても、強い誤差境界を伴う普遍的再構成を達成。
• ユニタリ不変分布からのランダム測定選択を用い、各観測量あたりの情報量を増加。測定集中現象を活用。
• 単一モードおよび多モード光状態の性能検証のため、位相シフト演算子とホモダイン検出を用いた数値シミュレーションを実装。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続変数量子光物理学における測定のように、連続的測定族への量子圧縮センシングの一般化は可能か？
• RQ2 タイトフレームにどのような非一様性条件を課すと、低ランク量子状態の効率的再構成が保証されるか？
• RQ3 状態に関する事前仮定なしに、量子状態再構成の成功をどのように認証できるか？
• RQ4 固定された一組の測定で、すべての低ランク状態を強い誤差境界で普遍的に再構成可能か？
• RQ5 提案手法は、ホモダイン検出やウィグナー関数トモグラフィーといった現実の実験設定でも効果的に機能するか？

主な発見

• 次元 $ n $ のヒルベルト空間内のランク $ r $ 状態に対して、$ O(rn \text{ polylog}(n)) $ 測定で圧縮センシング再構成を達成。標準的トモグラフィーと比較して測定設定数を著しく削減。
• 一般的なフレームでも、タイトフレームが $ \|w_\alpha\|_1 = O(\text{polylog}(n)) $ を満たす場合、典型的な低ランク状態に対して $ O(n \text{ polylog}(n)) $ 測定で十分であり、効率的再構成が可能。
• 凸双対性に基づく認証プロトコルにより、測定数のわずかな増加で再構成成功を事後的に保証可能。統計的ノイズやデコherenceに対しても有効。
• フーリエ型タイトフレームとやや多い測定数を用いることで、強い誤差境界を伴う普遍的再構成を達成。ノイズ耐性が高く、スペクトルが減衰するフルランク状態に対しても、正確な低ランク近似が可能。
• シミュレーションにより、位相シフト演算子を用いたホモダイン検出で、単一モード光状態が高確率で再構成可能であり、有効な認証が達成された。
• ユニタリ群に対して不変なグローバルランダム測定は、局所的ランダム測定よりも測定集中の性質が優れており、観測量あたりの情報量がより多い。